Как ученый, давший обет бедности, стал родоначальником современной бухгалтерии. Божественная пропорция

В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы. архитекторы, художники.
Леонардо да Винчи (1452 -1519) например, увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он проиллюстрировал правильными и полуправильными многогранниками книгу Монаха Луки Пачоли ""О божественной пропорции.""
Пачоли был одним из крупнейших европейских алгебраистов XV века и, что не менее важно, изобрел принцип так называемой двойной записи, который и в настоящее время применяется во всех без исключения системах бухгалтерского учета. Так что его смело можно называть «отцом современной бухгалтерии». Однако довольно загадочная и противоречивая личность Пачоли до наших дней вызывает ожесточенные споры историков науки.
В 1472 г. Пачоли под именем Фра Лука ди Борго-Сан-Сеполькро.В 1496 г. его приглашают с лекциями в Милан, где он знакомится с Леонардо да Винчи. Леонардо, прочитав «Сумму», забросил работу над собственной книгой по геометрии и начал готовить иллюстрации к новому труду Пачоли «Божественная пропорция».
Леонардо да Винчи предложил оригинальный способ пространственного изображения усеченного икосаэдра.
Репродукция этого прекрасного изображения из иллюстрированной Леонардо книги его современника, францисканского монаха и математика Луки Пачоли (1445-1514) «Божественная пропорция» («De Devina Proportione»), изданной в 1509 г. приведена на рис.1

Книга Пачоли, для которой Леонардо выполнил 59 иллюстраций различных многогранников, оказала большое влияние на развитие геометрии того времени, в частности, стереометрии многогранников.

Не случайна причастность Леонардо к изучению усеченного икосаэдра. Титан Возрождения, живописец, скульптор, ученый и изобретатель Леонардо да Винчи (1452-1519) - символ неразрывности искусства и науки, а следовательно, закономерен его интерес к таким прекрасным, как выпуклые многогранники вообще и усеченный икосаэдр в частности. Рис 2.

Гравюру с изображением усеченного икосаэдра (рис. 17) Леонардо предваряет надписью по латыни Ycocedron Abscisus (усеченный икосаэдр) Vacuus. Термин Vacuus обозначает тот факт, что грани многогранника изображены «пустыми» - не сплошными. Строго говоря, грани не изображаются вовсе, они существуют только в нашем воображении. Зато ребра многогранника изображены не геометрическими линиями (которые, как известно, не имеют ни ширины, ни толщины), а жесткими трехмерными сегментами. Обе эти особенности данной гравюры и составляют основу способа пространственного изображения многогранников, изобретенного Леонардо для иллюстрации книги Луки Пачоли и называемого сегодня методом жестких (или сплошных) ребер. Такая техника позволяет зрителю, во-первых, безошибочно определить, какие из ребер принадлежат передним, а какие - задним граням многогранника (что практически невозможно при изображении ребер геометрическими линиями), и, во-вторых, взглянуть как бысквозь геометрическое тело, ощутить его в перспективе, глубине, которые теряются при использовании техники сплошных граней. Техника, разработанная Леонардо, являет собой блестящий пример геометрической иллюстрации, нового способа графического изображения научной информации. Эта техника впоследствии многократно использовалась художниками, скульпторами и учеными.

Г. Я. Мартыненко

Математика Гармонии: Возрождение (XIV –XVI вв. )
(к 500–летию книги Луки Пачоли «О божественной пропорции»)

Божественная пропорция
Профессор Фра Лука Бартоломео де Пачоли
Великий фантазер скитальческого склада,
Постранствовав и натерев мозоли,
Добрался до Флоренции. Навстречу Леонардо

Да Винчи. Боже правый! Вот так встреча.
Друзья, обнявшись, едва не удавили
Друг друга, но не до увечья.
Затем не медля приступили к делу.

За чашею вина, когда слегка остыли,
Пачоли, захмелев, ваятелю поведал,
Что в многомудрии «Начал» Эвклида

Одна пропорция ему придала силы.
Да Винчи просиял улыбкой необычной:
«Взгляни, мой друг, она же гармонична».

Возрождение в истории культуры Европы - это эпоха перехода от Средних веков к
новому времени, эпоха поворота к живой человеческой мысли, подавленной аскетизмом
Средних веков. Этот период характеризуется глубокими и судьбоносными для Европы
процессами: аграрным переворотом и переходом от ремесла к мануфактуре; великими
географическими открытиями и началом мировой торговли. В это время феодальная
раздробленность
уступает
централизованной
власти
и
образуются
современные
национальные государства. Эта эпоха связана с началом книгопечатания, «открытием»
античности, расцветом свободомыслия, возникновением протестантства и утратой церковью
монополии в духовной жизни. В это время первые шаги делает естествознание, расцветают
искусства и литература, стремительно развивается математика.
Наиболее общая отличительная черта Возрождения - утверждение идеала
гармоничности человека и цельности мироздания. Причем в отличие от средневековья, эти
категории пусть не сразу, пусть уклончиво - стали рассматриваться как самодовлеющие
сущности, а не через призму божественного абсолюта. С этим связано присущее культуре
возрождения светский и гуманистический характер и склонность к космологическому и
натурфилософскому видению мира. Важную роль в таком видении мира играла и
математика, освобождавшая науку и искусство от оков средневековой схоластики и сурового
аскетизма.
В отличие от античности, учёные Возрождения не чурались сугубо практических
задач. Чистых математиков-теоретиков фактически не было. Но даже тех, кого можно
считать теоретиками, занимались астрономией, военным делом, анатомией, механикой,
медициной, картографией, оптикой и другими практическими делами.

1. Представления о гармонии в искусстве Возрождения

В эпоху Возрождения резко возрастает общественный авторитет искусства, но это не
вело к его противопоставлению науке и ремеслу, а осознавалась как равноправность
различных форм человеческой деятельности в их единстве. В сравнении со Средневековьем
в искусстве происходит резкое смещение акцентов. Для средневекового человека
окружающий мир - это зеркало, рисунки и статуи в храмах и рукописях - это тоже
зеркала; и даже энциклопедия знаний называлась тогда «Speculum» (зеркало). Так что же
отражалось в этих зеркалах? По средневековым представлениям, в них отражалось
совершенство, некий абсолют, некая беспредельная божественная сущность.

1.1. Искусство как зеркало
В эпоху Возрождения Священное писание уже не рассматривается как сокровищница
божественных тайн, это уже отражение действительной, реальной жизни и бытия природы.
Леонардо да Винчи пишет: «Если ты хочешь видеть, соответствует ли твоя картина в целом
предмету, срисованному с натуры, то возьми зеркало… На его поверхности вещи подобны
картине…» (Леонардо да Винчи, 1935, с. 114–115). Иными словами, живописец должен быть
подобен зеркалу, чтобы отражать окружающий мир, т. е., как говорит Леонардо да Винчи
«ты не можешь быть хорошим живописцем, если ты не являешься универсальным мастером
в подражании своим искусством всем качествам форм, производимых природой» (там же,
с. 88). Подобных взглядов придерживался и Альбрехт Дюрер: «Наше зрение подобно
зеркалу» (Дюрер, 1957, с. 26). Но речь здесь идет о зримых искусствах. Как же быть другим
видам искусства? Что в них есть зеркало. И здесь уже начинаются метафоры. Так, Джорж
Путтенхэм в своей книге «Искусство английской поэзии» (1859) пишет: «Ум, обладающий
воображением, подобен зеркалу» (Гилберт, Кун, с. 182).
Однако мистицизм и непререкаемый авторитет церкви не сразу были вытеснены
природой и разумом. Церковь еще долгое время сохраняла свою власть над духовной
жизнью мыслящих людей. При этом многие «возрожденцы» видели компромисс в том, что
теология это тоже поэзия. Так Петрарка писал своему брату Герардо: «Поэзия отнюдь не
противоречит теологии… Можно с известным правом сказать, что теология та же поэзия, но
относящаяся к богу» (Гилберт, Кун, с. 186). По мнению Альберти и Леонардо да Винчи,
художник должен быть неким подобием священника, ибо благочестие и добродетель
считались тогда неотъемлемыми атрибутами художника. Само искусство считалось
божественным, и роль его заключалась прежде всего в том, чтоб внушать людям любовь и
поклонение богу.

1.2. Перемены в классификации искусств
Но в одной области произошли радикальные перемены. Речь идет о теологии, в
которую стали все больше проникать представления и идеи, характерные для искусства.
Происходила постепенная эрозия теологии на фоне возрастания роли и престижа искусства.
Это нашло отражение в том, что поэзия, скульптура и живопись стали относиться к
категории свободных искусств. Однако светское направление в искусстве пробивало себе
дорогу крайне деликатно, осторожно, без «кавалерийских атак». Оно завоевывало позиции
благодаря постепенному вторжению в сферу религиозного духа интереса к науке и
античному наследию. Поэты и художники понимали, что им надо неустанно доказывать свое
место под солнцем в стане свободных профессий. И делали они это через трудолюбие,
упорство, интеллект и «методическое мастерство», характерное для традиционного
искусства, пришедшего из Средних веков. Чтобы поднять свой авторитет, художники и
поэты неустанно трудились, ибо в сознании человека середины второго тысячелетия прочно
была укоренена убежденность, что чем больше труда вложено в создание произведения, тем
оно совершеннее, тем самобытней и прекрасней. Причем в спорах о том, какое искусство -
живопись или скульптура, живопись или поэзия важнее другого, аргумент в пользу
искусства, требующего большей затраты труда, причем труда зримого, осязаемого, играл
весьма важную роль.

1.3. Роль науки и ремесел

По мере того как возрастало их художественное мастерство, некоторые деятели
искусства Возрождения начали отходить от строгого копирования природы и старались
совместить свой художественный замысел со стремлением к идеальной форме и гармонии
своего произведения. Природа перестала быть просто «натурщицей»,моделью для
копирования, а превратилась в источник скрытой божественной сущности, которую надо
разгадать.
Но некоторые художники и ваятели шли другим путем. Они не только разгадывали,
но и отбирали. Основой красоты становится не столько дар бога, сколько выбор человека,
который выбирает в природе ярчайшие варианты из самых лучших и прекрасных форм.
«Надо брать лучшие черты от многих прекрасных лиц - таков был распространенный
лозунг» эпохи (Гилберт, Кун, с. 205).
Популярен был и другой путь. Основываясь на совокупности специальных знаний в
области перспективы, анатомии, математики, психологии, усиливающих органы чувств,
художники Возрождения создавали вторую «рукотворную» природу, но такую, которая
соответствовала плану божественного творения. При этом решающую роль играла
математика. О ее значении в эпоху Возрождения мы подробнее остановимся ниже.



1.4. Отношение к гармонии
Если для человека Средневековья гармония означала максимальную степень
следования божественному единству, то для человека Возрождения гармония означала
полное соответствие отдельных элементов художественного произведения друг другу и
всему целому. Для того, чтобы выразить смысл этого соответствия, применялись различные
слова и словосочетания: соотношение, координация, пропорциональность, согласие,
сочетание, согласованность, соразмерность, композиция, скомпанованность и др.
Понятие гармонии в конечном итоге для художника эпохи Возрождения находит
воплощение в искусстве проекта . Это искусство основано на изучении множества реальных
предметов с целью создания совершенного образца. Вот как определяет возрожденческий
проект английский искусствовед Дж. Вазари: «Проект - это как бы форма или идея всех
вещей в природе; это самое замечательное по своей широте понятие, ибо не только на телах
людей и животных, но и на растениях, зданиях, скульптуре и живописи проект показывает
отношение целого к отдельным частям и каждой части к другой и к целому… Из этих
отношений возникает определенная концепция и суждение» (Vasari, 1907, с. 205; цит. по:
Гилберт, Кун, с. 207). И только после этого первоначальный набросок или проект
воплощается в художественную реальность.
Идея и практика проектирования восходит к идеям Ветрувия, который в своих
проектах основывался на пропорциях человеческого тела. Возрожденцы смотрят на
проблему шире. Они учитывают не только пропорции человеческого тела, но и любые
пропорции, встречающиеся в природе. Но великая сила искусства часто уводила художников
от гармонических канонов. Об этом пишет, например, американский исследователь Дж.
Саймон, обсуждая творчество Микеланджело, который часто отклонялся в своем творчестве
от пропорций человеческого тела. Так же думает и Дюрер. В третьей из своих «Четырех книг
о пропорциях человеческого тела» он говорит, что художник властен отклоняться от золотой
середины в сторону большого и маленького, толстого и тонкого, молодого и старого,
жирного и худого, красивого и безобразного, твердого и мягкого, но все это должно быть
подчинено сознательно выбранному методу и искусству, которое прочно опирается на
природу и никогда не повторяет себя. Для Дюрера канон, образец, модель, проект - это не
догма, а руководство к действию свободного человека, обладающего «естественной
склонностью» к творчеству.
Итак, в искусстве Возрождения наметилась четкая тенденция к поиску формальных
регуляторов процесса творчества. Критерием истины с одной стороны становится
божественный источник, а с другой, огромную роль начинает играть математика. Причем эта
«комбинация» распространялась не только на искусство, но и на другие области
деятельности, прежде всего на ремесла и торговлю. Так, моряк, владеющий
математическими навыками, получал преимущество перед своими конкурентами благодаря
умению вычислять координаты судна на море, а купец, владеющий техникой бухгалтерского
учета, имел значительно больше шансов на успех в торговле, чем его беспомощные в
математике соперники. При этом традиционные представления утверждали, что вселенная
построена богом по единому плану, в котором математика играла важную роль.
Примечательно также и то, что в эпоху Возрождения гармонические представления
распространяются не только на природу и продукты творческой деятельности, но и на всю
гамму взаимодействий человека и природы и человеческих отношений. Ярким примером
такого расширительного понимания гармонии является творчество Леона Баттиста
Альберти (1404 – 1472) -ученого, гуманиста, писателя, одного из зачинателей новой
европейской архитектуры и ведущего теоретика искусства эпохи Возрождения.
Разносторонне одарённый и образованный, он внёс крупный вклад в теорию
искусства и зодчества, в литературу и архитектуру, увлекался проблемами этики и
педагогики, занимался теорией перспективы, картографией и криптографией.
Гармония по Альберти - важнейшая закономерность природы, основа миропорядка.
Человек, включённый в мировой порядок, оказывается во власти ее законов - гармонии и
совершенства. Гармонию человека и природы определяет его способность к познаванию
мира, к разумному, устремлённому к добру существованию.
Альберти создал оригинальную гуманистическую, восходящую к Платону и
Аристотелю концепцию человека, основанную на идее гармонии. Этика Альберти -
светская по характеру - отличалась вниманием к проблеме земного бытия человека, его
нравственного совершенствования.
Идеальный человек, по Альберти, гармонически сочетает силы разума и воли,
творческую активность и душевный покой. Он мудр, руководствуется в своих действиях
принципами меры, обладает сознанием своего достоинства. Всё это придаёт образу,
созданному Альберти, черты величия.
Ответственность за моральное совершенствование, имеющее как личное, так и
общественное значение, Альберти возлагает на самих людей. Выбор между добром и злом
зависит от свободной воли человека. Основное предназначение личности гуманист видел в
творчестве, которое понимал широко - от труда скромного ремесленника до высот научной
и художественной деятельности.
Общество Альберти мыслит как гармоническое единство всех его слоёв, которому
должна способствовать деятельность правителей. Обдумывая условия достижения
социальной гармонии, Альберти в трактате «О зодчестве» рисует идеальный город,
прекрасный по рациональной планировке и внешнему облику зданий, улиц, площадей. Вся
жизненная среда человека устроена здесь так, чтобы она отвечала потребностям личности,
семьи, общества в целом.
Воплощение представлений об идеальном городе в слове или изображении было
одной из типичных особенностей ренессансной культуры Италии. Проектам таких городов
отдали дань многие яркие личности этой эпохи. Это и архитектор Филарет, учёный и
художник Леонардо да Винчи, авторы социальных утопий XVI в. В последних отразилась
мечта
гуманистов
о
гармонии
человеческого
общества,
о
внешних
условиях,
способствующих его стабильности и счастью каждого человека.

2. Математические штудии
2.1. «Божественная пропорция» Луки Пачоли

В 1509 г., т. е. 500 лет назад, по совету Леонардо да Винчи Лукa Пачоли опубликовал
книгу «О божественной пропорции» («La Divina Proportione») с подзаголовком «Сочинение,
весьма полезное всякому проницательному и любознательному уму, из коего каждый
изучающий философию, перспективу, живопись, скульптуру, архитектуру, музыку или
другие математические предметы, извлечёт приятнейшее, остроумное и удивительное учение
и развлечёт себя различными вопросами сокровеннейшей науки». В книге в явном виде был
сформулирован закон золотого сечения. Книга была изысканно и со знанием дела
иллюстрирована изображениями многогранников, выполненных великим Леонардо. В 2007
году появился русский перевод «Божественной пропорции» (Пачоли, 2007).
Монах-францисканец Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески,
написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Эту книгу
считают предтечей начертательной геометрии. От художника Пачоли получил глубокие
знания в области искусства и математики.
«La Divina Proportione» была восторженным гимном золотой пропорции. Среди
многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее
«божественную суть» как выражение божественного триединства бога сына, бога отца и бога
духа святого. Подразумевалось, что малый отрезок при делении отрезка в крайнем и среднем
отношении есть олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок -
бога духа святого.
Первая часть «Божественной пропорции» посвящена золотому сечению, вторая -
правильным многогранникам, третья - архитектуре. Золотое сечение и правильные
многогранники Пачоли рассматривает в соответствии с XIV книгой «Начал» Эвклида.
Незадолго до опубликования «Божественной пропорции» Пачоли издал отредактированный
латинский перевод «Начал» со своими многочисленными комментариями.
Изображения многогранников на 59 таблицах сделал для своего друга Леонардо да
Винчи, для которого Пачоли, со своей стороны, подсчитал количество металла,
необходимого для конной статуи (Юшкевич, с. 288–289). В книге присутствуют не только
пять правильных многогранников (в полном соответствии с платоновыми телами), но и
многогранники, получаемые из них путем «отсечения» и «насадки» друг на друга. Что
касается раздела, посвященного зодчеству, то здесь рассматриваются пропорции
человеческого тела на основе целых чисел в полном соответствии с измерениями Ветрувия.
«Божественная пропорция» для математики гармонии имеет основополагающее
значение. Интересно, однако, что Пачоли рассматривает божественную пропорцию» с
космологических позиций в пифагорейско-платоновском духе, не привязывая ее к
архитектуре, живописи или к какому-либо другому искусству. Об этом говорит тот факт, что
Пачоли в «Трактате об архитектуре», образующем последнюю часть книги, о золотой
пропорции не упоминает. Иначе говоря, для Пачоли золотая пропорция - это прежде всего
христианизированный математико-космический феномен.
Пачоли
славен
не
только
математико-гармоническими
изысканиями.
Его
математические достижения в целом также имеют непреходящее значение.
В 1494 г. Пачоли публикует на итальянском языке математический труд под
названием «Сумма арифметики, геометрии, дробей, пропорций и пропорциональности»
(Summa di arithmetica, geometrica, proportione et proportionalita). В этом сочинении излагаются
правила и приемы арифметических действий над целыми и дробными числами, задачи на
сложные проценты, решение линейных, квадратных и отдельных видов биквадратных
уравнений. Пожалуй, самое существенное нововведение Пачоли состоит в систематическом
использовании синкопированной алгебраической записи - своеобразной предшественницы
последующего символического исчисления. Из задач, привлёкших внимание математиков
последующих поколений, следует отметить задачу о разделе ставки при незавершённой игре.
Эту задачу Лука решил неправильно, но позднее она стала оселком, на котором оттачивалось
математическое искусство. В конечном итоге эта задача способствовала возникновению и
становлению теории вероятностей.

2.2. Теория симметрии и Леонардо да Винчи
Существует тиражируемое мнение, что термин золотая пропорция (aurea sectio )
впервые употребил Леонардо да Винчи. Так ли это на самом деле, нам установить не
удалось. Возможно, Леонардо, исследуя структуру многоугольников и многогранников,
сталкивался с золотой пропорцией, известной ему по книге Пачоли. Но для Леонардо, скорее
всего, золотая пропорция была лишь проявлением одного из видов симметрии. А последней
он уделял очень много внимание, проектируя свои знаменитые ансамбли. Так, Герман Вейль
(Вейль, 2007, с. 91–92, 100–101), отмечает, что простейшими фигурами, обладающими
возможными вариантами поворотной симметрии, являются правильные многоугольники,
которые строятся в двухмерном пространстве. Это хорошо понимал Леонардо да Винчи
(Вейль, 2007, с. 91, 100). Число таких многоугольников определяется числом граней,
стремящегося к бесконечности. При повышении размерности пространство до 3 число
многогранников не бесконечно. Их только пять. Обычно их называют платоновыми телами.
Это правильный тетраэдр, куб, октаэдр, а также додекаэдр, гранями которого являются
двенадцать правильных пятиугольников, и икосаэдр, ограниченный двадцатью правильными
треугольниками. Вейль отмечает, что «существование первых трех многогранников является
весьма тривиальным геометрическим фактом. Но открытие факта существования последних
двух, несомненно, было одним из наиболее выдающихся и прекрасных открытий, сделанных
на протяжении всей истории математики» (Вейль, 2007, с. 100). Различие двух групп
многогранников заключается в том, что куб и октаэдр имеют одну и ту же группу
симметрии, потому что, если взять центры граней куба и «натянуть» на них многогранник,
получится октаэдр, и, наоборот, центры граней октаэдра являются вершинами куба. По той
же причине додекаэдр и икосаэдр имеют одинаковые группы симметрии (Винберг, 2001,
с. 19–20).
Вейль также отмечает, что Леонардо да Винчи всегда волновала проблема выбора
формы центрального здания в архитектурных ансамблях, а также, каким образом нужно
производить пристройку к ним часовен и ниш, не разрушая симметрии ядра ансамбля.

2.3. Решение уравнений четвертой и третьей степеней
Лука Пачоли закончил раздел об алгебраических уравнениях книги «Суммы»
замечанием о том, что для решения кубических уравнений x 3 + b = ax и x 3 + ax = b
искусство алгебры еще не дало способа, как не дан еще способ разрешения квадратуры
круга. Эти слова Пачоли послужили отправным пунктом для итальянских алгебраистов в
решении кубических уравнений. Открытие этого решения было крупным математическим
достижением эпохи Возрождения, сохранившим свое значение до настоящего времени. Если
же говорить о математике гармонии, то решение такого уравнения имеет отношение к
теории уравнений, обобщающих идею золотого сечения. Речь идет прежде всего о
кубических уравнениях Падована-Газале и Алексея Стахова (Газале, 2002, с. 147; Стахов,
2003, с. 10).
Первым удалось решить один из видов кубического уравнения x 3 + ax = b (a,b >0)
профессору Болонского университета Сципионе дель Ферро (1456–1526), а вслед за ним и
независимо от него уроженцем Брешии Никола Тарталье (1500–1557), который решил и
другие виды кубических уравнений. Формулу Тарталья опубликовал Джираломо Кардано
(1501–1576) в своем знаменитом трактате «Великое искусство» (1545 г.). И хотя она
фигурирует в истории математики под именем Кардано, но подлинным автором является
Тарталья. Кстати, с именем Кардано связаны и другие достижения изобретательного ума –
карданный вал и решетка Кардано: может быть, потому, что кто-то изобретал, а он
публиковал?
Любопытно, что формулу Кардано использовал М. Газале (Газале, 2002, с. 158) при
вычислении серебряного сечения, предложенного архитектором Падованом. Для уравнения
x 3 + ax = b формула Кардано имеет вид:
3
2
3
2
 a 
 b 
b
 a 
 b 
b
3
3
x =
  +   +
−
  +   − .
 3 
 2 
2
 3 
 2 
2
Подставив в это выражение a = −1 и b = 1, можно найти решение уравнения
3
p − p −1 = 0:
3
2
3
2
 −1
 1 
1
 −1
 1 
1
3
3
p =

 +   +
−

 +   −
=
 3 
 2 
2
 3 
 2 
2

23
1
23
1

3
3
=
+ −
− ≈
108
2
108
2
3
≈
,
0 461479103 + 5
,
0
3
−
,
0 461479103 − 5
,
0
≈
≈ 9
,
0 86991206 + 3
,
0 377226751 ≈ 3
,
1 24717957,
что с точностью до десяти значащих цифр, совпадает со значениями, вычисленными путем
последовательных итераций выражения
3 1+ 3 1+ 3 1+ 3 1+ ... → p
Как отмечает Карл Б. Байер (Boyer,1989, p. 282), а вслед за ним и Мидхад Газале
(Газале, 2002, с. 160), год опубликования Кардано (1545) способа решения кубического
уравнения ознаменовал начало современной эпохи в математике. От себя добавим, что эта
дата является также предвестником становления теории уравнений высоких порядков,
связанных с золотым сечением и числами Фибоначчи.
Кардано включил в свою книгу ещё одно открытие, сделанное его учеником Лодовико
(Луиджи) Феррари: общее решение уравнения четвёртой степени.
Итальянские математики Дель Ферро, Тарталья и Феррари решили проблему, с
которой несколько веков не могли справиться лучшие математики мира. При этом они
обнаружили, что в решении иногда появлялись «странные» корни из отрицательных чисел.
После анализа ситуации европейские математики назвали эти корни «мнимыми числами» и
выработали правила обращения с ними, приводящие к правильному результату. Так в
математику впервые вошли комплексные числа.
Важнейший шаг к новой математике сделал француз Франсуа Виет (1540–1603). Он
окончательно сформулировал символический метаязык арифметики - буквенную алгебру.
Еще одно великое великое открытие XVI века - изобретение Джоном Непером
логарифмов, которое во много раз упростили сложные расчёты
И наконец, уже в самом конце XVI столетия фламандец Симон Стевин (1548–1620)
издаёт книгу «Десятая» о правилах действий с десятичными дробями, после чего десятичная
система одерживает окончательную победу и в области дробных чисел. Стевин также
провозгласил полное равноправие рациональных и иррациональных чисел, решив тем самым
одну из самых острых проблем, которая в глубокой древности озадачила мудрых греческих
математиков и повернула вектор их исследований в сторону геометрии.

2.4. Теория перспективы
Эвклид в разделе «Оптика» своих «Начал» сформулировал впервые правила
наблюдательной перспективы, а также вывел законы отражения лучей от плоских, вогнутых
и выпуклых зеркал. Учение о перспективе позднее были изложены в трактате «Десять книг
об архитектуре» древнегреческого ученого и архитектора Витрувия, который изложил
правила построения перспективы, а также составления архитектурно-строительных
чертежей, содержащих план и фасад зданий.
В эпоху Возрождения начинается новый этап в развитии теории перспективы. Леон
Баттиста Альберти в трактатах «О живописи» и «О зодчестве» изложил математическую
теорию пропорций, основываясь на пропорциях человеческого тела. В перспективных
построениях Альберти применил метод построения изображения расположенных друг за
другом равных и параллельных отрезков, заключенных между двумя линиями,
пересекающимися на линии горизонта.
Большой вклад в теорию перспективы внес и Леонардо да Винчи. В «Трактате о
живописи» он писал, что перспектива относится к «механическим наукам», которыми не
должен пренебрегать ни один живописец.
Леонардо
да
Винчи
делит
перспективу
на
три
основные
части:
1. Линейную перспективу, которая учитывает закон уменьшения фигур по мере их
удаления от наблюдателя.
2. Воздушную и цветовую перспективу, которая проявляется в цветности предметов,
зависящей от их расстояния до наблюдателя.
3. Перспектива четкости очертания предметов в зависимости от структуры
пространства и степени освещенности его частей.
Первый раздел теории перспективы впоследствии развился в точную науку -
линейную перспективу, которая позднее вошла как составная часть в начертательную
геометрию.
Выдающийся немецкий ученый, математик, гравер и художник Альбрехт Дюрер
(1471–1528) в своем сочинении «Руководство для измерений циркулем и правилом»,
изданном в 1523 г., описал графический способ построения перспективы предметов с
использованием ортогональных проекций, получивший в учебной литературе название
«способ Дюрера». Юшкевич отмечает, что в этом сочинении приводится огромный
статистический материал, содержащий измерения различных частей тела мужчин и женщин
разных комплекций (Юшкевич, 1977, с. 324). Представляется, что эти результаты явились
первым серьезным шагом на пути становления антропометрии и рационалистической
эстетики. Заметим также, что достижения Дюрера в этой области еще ждут достойной
оценки.

3. Значение математико-гармонических изысканий в эпоху Возрождения
В этот период математика впервые вышла за пределы наследства, оставленного
греками и математиками Востока.
1. Мощное развитие получила алгебра и арифметика, вырвавшиеся наконец за
пределы геометрии. Впервые практически сложилось понятие действительного числа. Все
«плохие» числа стали естественными или, как писал Стивен, «нет никаких абсурдных,
иррациональных, неправильных, невыразимых или глухих чисел» (Юшкевич, 1977, с. 325).
2. Существенно расширился круг представлений, связанных с гармонией. Концепция
гармонии приобретала все более светский характер, становилась все более гуманистической,
распространяясь не только на природу, но и на отдельного человека и человеческое
общество в целом.
3. Понятие гармонии для творческого человека эпохи Возрождения находит
воплощение в искусстве проекта, основанном на изучении множества реальных предметов с
целью создания совершенного образца.
3. Впервые со времен Эвклида был возобновлен разговор о золотом сечении,
платоновых телах и правильных многогранниках.
4. В трудах Леонардо да Винчи, по-видимому, впервые ставится вопрос о различных
видах симметрии архитектурных сооружений.
5. Серьезным математическим достижением эпохи было открытие методов решения
уравнений третьей и четвертой степеней. С одной стороны это стало движущей силой для
развития алгебры, а с другой, заложило основы алгебраической теории гармонии, в которой
важное место занимает решения уравнения высоких степеней.

Литература
Вейль Г. Симметрия. Перевод с англ. М.: Издательство ЛКИ., 2007.
Винберг Э. Б. Симметрия многочленов. Серия: Библиотека «Математическое просвещение».
М.: МЦМНО, 2001.
Газале М. Гномон. От фараонов до фракталов. Перевод с англ. Москва-Ижевск: Институт
компьютерных исследований, 2002.
Гилберт К., Кун Г. История эстетики. Перевод с англ. М.: Изд-во иностранной литературы,
1960.
Дюрер А. Дневники, письма, трактаты. Искусство: М.-Л.: 1957, т. 2.
Юшкевич А. П. История математики (под ред. А. П. Юшкевича) в трёх томах. Том 1. С
древнейших времен до начала Нового времени. М., Наука, 1977.
Леонардо да Винчи. Избранные произведения. М.-Л..: Academia. 1935. Т. 2.
Лука Пачоли. О божественной пропорции. Репринт изд. 1508 г. с приложением перевода
А. И. Щетникова. М.: Фонд «Русский авангард», 2007.
Лука Пачоли. Трактат о счетах и записях. М.: Финансы и статистика, 1994.
Соколов Я. Лука Пачоли. Человек и мыслитель. В кн.: Пачоли Лука. Трактат о счетах и
записях. М.: Финансы и статистика, 1994.
Щетников А. И . Лука Пачоли и его трактат «О божественной пропорции». Математическое
образование, №1 (41), 2007, с.33–44.
Boyer C., Merzbach U. A History of Mathematics. New York: John Wiley & Sons, 1989.
Vasari G. On Technique. Ed. G. B. Brown. London, 1907.

Текущая страница: 11 (всего у книги 21 страниц) [доступный отрывок для чтения: 14 страниц]

Божественная пропорция

Поиски нашего происхождения – вот сок того сладкого плода, который приносит столько удовлетворения разуму философов.

Лука Пачоли (1445–1517)

Лишь немногие великие живописцы в истории человечества были и одаренными математиками. Однако выражение «Человек Возрождения» означает в нашем лексиконе человека, воплощавшего возрожденческий идеал широчайшего кругозора и образованности. Вот и три самых знаменитых художника эпохи Возрождения – итальянцы Пьеро делла Франческа (ок. 1412–1492) и Леонардо да Винчи и немец Альбрехт Дюрер, также сделали весьма значительный вклад в математику. Пожалуй, нет ничего удивительного, что математические изыскания всех троих были связаны с золотым сечением. Самым деятельным математиком из этого блистательного трио виртуозов был Пьеро делла Франческа. Сочинения Антонио Марии Грациани, который приходился родственником правнукам Пьеро и приобрел дом художника, свидетельствуют о том, что Пьеро родился в 1412 году в Борго Сансеполькро в Центральной Италии. Его отец Бенедетто был преуспевающим кожевенником и сапожником. О детстве Пьеро почти ничего больше не известно, однако недавно были обнаружены документы, из которых очевидно, что до 1431 года он провел некоторое время в учениках у художника Антонио Д’Ангиари, работы которого до нас не дошли. К концу 1430 годов Пьеро перебрался во Флоренцию, где начал сотрудничать с художником Доменико Венециано. Во Флоренции молодой художник познакомился с работами художников раннего Возрождения – в том числе фра Анджелико и Мазаччо – и со скульптурами Донателло. Особенно сильное впечатление произвела на него величественная безмятежность работ фра Анджелико на религиозные темы, и его собственный стиль отражает это влияние во всем, что касается светотени и колорита. В последующие годы Пьеро трудился не покладая рук в самых разных городах – в том числе в Римини, Ареццо и Риме. Фигуры кисти Пьеро либо отличались архитектурной строгостью и монументальностью, как в «Бичевании Христа» (сейчас картина хранится в Национальной галерее Марке в Урбино; рис. 45), либо были словно бы естественным продолжением фона, как в «Крещении» (в настоящее время находится в Национальной галерее в Лондоне; рис. 46). Первый историк искусств Джорджо Вазари (1511–1574) в своих «Жизнеописаниях наиболее знаменитых живописцев, ваятелей и зодчих» пишет, что Пьеро с ранней юности выказывал недюжинные математические способности, и приписывает ему написание «многочисленных» математических трактатов. Некоторые из них были созданы в старости, когда художник по немощи уже не мог писать картины. В посвятительном письме герцогу Гвидобальдо Урбинскому Пьеро упоминает одну из своих книг, сочиненную, «дабы разум его не закоснел от неупотребления». До нас дошли три труда Пьеро по математике: «De Prospectiva pingendi » («О перспективе в живописи»), «Libellus de Quinque Corporibus Regularibus » («Книжица о пяти правильных многогранниках») и «Trattato d ’Abaco » («Трактат о счетах»).

Рис. 45

Рис. 46

В трактате «О перспективе» (середина 1470 годов – 1480 годы) содержится много отсылок к «Началам» и «Оптике» Евклида, поскольку Пьеро делла Франческа решил доказать, что техника передачи перспективы в живописи полностью основана на математических и физических свойствах визуальной перспективы. На картинах самого художника перспектива представляет собой просторное вместилище, находящееся в полном соответствии с геометрическими свойствами заключенных в нем фигур. По сути дела, для Пьеро сама живопись в первую очередь сводилась к «показу на плоскости тел уменьшенного или увеличенного размера». Такой подход прекрасно виден на примере «Бичевания» (рис. 45 и 47): это одна из немногих картин эпохи Возрождения, где перспектива выстроена и проработана весьма тщательно. Как пишет современный художник Дэвид Хокни в своей книге «Тайное знание» (David Hockney . Secret Knowledge, 2001), Пьеро пишет фигуры «такими, какими, по его убеждению, они должны быть, а не такими, какими он их видит».

По случаю пятисотой годовщины со дня смерти Пьеро, ученые Лаура Джеатти из Римского университета и Лучано Фортунати из Национального совета по исследованиям в Пизе проделали подробнейший анализ «Бичевания» c помощью компьютера. Они оцифровали всю картину, определили координаты всех точек, перемерили все расстояния и составили полный анализ перспективы на основе алгебраических вычислений. Это позволило им точно определить местоположение «точки схода», где пересекаются все линии, уходящие к горизонту от зрителя (рис. 47), благодаря чему Пьеро и сумел добиться «глубины», которая производит такое сильное впечатление.

Рис. 47

Книга Пьеро о перспективе, отличающаяся ясностью изложения, стала стандартным руководством для художников, пытавшихся рисовать плоские фигуры и геометрические тела, а те ее разделы, которые не перегружены математикой (и более понятны), вошли в большинство последующих работ по перспективе. Вазари утверждает, что Пьеро получил солидное математическое образование и поэтому «лучше любого другого геометра понимал, как лучше всего проводить круги в правильных телах, и именно он пролил свет на эти вопросы» (здесь и далее пер. А. Габричевского и А. Бенедиктова ). Примером того, как тщательно Пьеро разработал метод рисования правильного пятиугольника в перспективе, может служить рис. 48.

И в «Трактате о счетах», и в «Книжице о пяти правильных многогранниках» Пьеро ставит (и решает) множество задач с участием пятиугольника и пяти платоновых тел. Он вычисляет длины сторон и диагоналей, площади и объемы. Многие решения опираются и на золотое сечение, а некоторые приемы Пьеро свидетельствуют о его изобретательности и оригинальности мышления.

Рис. 48

Пьеро, как и его предшественник Фибоначчи, написал «Трактат о счетах» в основном ради того, чтобы снабдить своих современников-дельцов арифметическими «рецептами» и геометрическими правилами. В тогдашнем мире коммерции не было ни унифицированной системы мер и весов, ни даже соглашений о размерах и формах емкостей, так что без умения вычислять объем фигур было никак не обойтись. Однако математическая любознательность выводила Пьеро далеко за рамки тем, сводившихся к повседневным нуждам. Поэтому в его книгах мы находим и «бесполезные» задачи – например, вычисление длины ребра октаэдра, вписанного в куб, или диаметра пяти маленьких кругов, вписанных в круг большего диаметра (рис. 49). Для решения последней задачи используется правильный пятиугольник, а следовательно, и золотое сечение.

Рис. 49

Алгебраические изыскания Пьеро в основном вошли в книгу, которую выпустил в свет Лука Пачоли (1445–1517) под названием «Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita » («Свод познаний в арифметике, геометрии, пропорциях и пропорциональности»). Труды Пьеро по многогранникам, написанные на латыни, перевел на итальянский тот же Лука Пачоли – и опять же включил (ну, или, выражаясь не столь деликатно, попросту украл) в свою знаменитую книгу о золотом сечении под названием «О божественной пропорции» («Divina Proportione »).

Кто же он был, этот полный противоречий математик Лука Пачоли? Величайший плагиатор в истории математики – или все же великий популяризатор математической науки?

Невоспетый герой Возрождения?

Лука Пачоли родился в 1445 году в том же тосканском городке Борго Сансеполькро, где родился и держал мастерскую Пьеро делла Франческа. Более того, начальное образование Лука получил именно в мастерской Пьеро. Однако, в отличие от других учеников, выказывавшим способности к живописи – некоторым из них, например, Пьетро Перуджино, суждено было стать великими живописцами, – Лука оказался более склонным к математике. Пьеро и Пачоли сохраняли дружеские отношения и в дальнейшем: доказательством тому служит то, что Пьеро изобразил Пачоли в виде Св. Петра Веронского (Петра Мученика) на «Алтаре Монтефельтро». Еще сравнительно молодым человеком Пачоли перебрался в Венецию и стал там наставником трех сыновей состоятельного торговца. В Венеции он продолжил математическое образование под руководством математика Доменико Брагадино и написал первую книгу по арифметике.

В 1470 годах Пачоли изучал теологию и постригся в монахи-францисканцы. С тех пор его стало принято называть фра Лука Пачоли. В последующие годы он много путешествовал, преподавал математику в университетах в Перудже, Задаре, Неаполе и Риме. В то время Пачоли, вероятно, некоторое время учил и Гвидобальдо Монтефельтро, которому в 1482 году предстояло стать герцогом Урбинским. Лучший, пожалуй, портрет математика – это картина кисти Якопо де Барбари (1440–1515), изображающая, как Лука Пачоли дает урок геометрии (рис. 50, картина находится в музее Каподимонте в Неаполе). Справа на книге Пачоли «Summa » покоится одно из платоновых тел – додекаэдр. Сам Пачоли во францисканской рясе (тоже похожий на правильный многогранник, если приглядеться) копирует чертеж из XIII книги «Начал» Евклида. Прозрачный многогранник под названием ромбокубоктаэдр (одно из архимедовых тел, многогранник с 26 гранями, 18 из которых – квадраты, а 8 – равносторонние треугольники), висящий в воздухе и наполовину наполненный водой, символизирует чистоту и вечность математики. Художнику удалось с поразительным искусством передать преломление и отражение света в стеклянном многограннике. Личность ученика Пачоли, изображенного на этой картине, стала предметом споров. В частности, предполагают, что этот юноша – сам герцог Гвидобальдо. Английский математик Ник Маккиннон в 1993 году выдвинул интересную гипотезу. В своей статье «Портрет фра Лука Пачоли», опубликованной в «Mathematical Gazette » и основанной на весьма солидных исследованиях, Маккиннон делает вывод, что это портрет великого немецкого живописца Альбрехта Дюрера, которого очень интересовали и геометрия, и перспектива (а к его отношениям с Пачоли мы еще вернемся чуть ниже). И в самом деле, лицо ученика поразительно похоже на автопортрет Дюрера.

Рис. 50

В 1489 году Пачоли вернулся в Борго Сансеполькро, получив некоторые привилегии от самого Папы, однако местный религиозный истеблишмент встретил его с ревнивой недоброжелательностью. Около двух лет ему даже запрещали преподавать. В 1494 году Пачоли отправился в Венецию печатать свою книгу «Summa », которую посвятил герцогу Гвидобальдо. «Summa » по природе и по размаху (около 600 страниц) – подлинно энциклопедический труд, где Пачоли свел воедино все, что было на то время известно в области арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии. В своей книге Пачоли не стесняется заимствовать задачи об икосаэдре и додекаэдре из «Трактата» Пьеро делла Франческа и другие задачи по геометрии, а также по алгебре, из трудов Фибоначчи и других ученых (правда, обычно выражает благодарность автору, как полагается). Пачоли признается, что его главный источник – это Фибоначчи, и говорит, что там, где нет ссылок на кого-то другого, труды принадлежат Леонардо Пизанскому. Интересный раздел «Summa » – бухгалтерская система двойной записи, метод, позволяющий прослеживать, откуда деньги пришли и куда ушли. Эту систему изобрел не сам Пачоли, он лишь свел воедино приемы венецианских купцов эпохи Возрождения, однако считается, что это первая книга по бухгалтерии в истории человечества. Так и получилось, что желание Пачоли «позволить дельцу незамедлительно получать сведения о своих активах и денежных обязательствах» стяжало ему прозвище «Отец бухгалтерии», и в 1994 году бухгалтеры всего мира отмечали пятисотлетие «Summa » в Сансеполькро, как теперь называется этот город.

В 1480 году место герцога Миланского фактически занял Людовико Сфорца. На самом деле он был всего лишь регентом при настоящем герцоге, которому тогда было только семь лет; это событие положило конец периоду политических интриг и убийств. Людовико решил украсить свой двор художниками и учеными и в 1482 году пригласил Леонардо да Винчи в «коллегию герцогских инженеров». Леонардо очень интересовался геометрией, в особенности – ее практическим приложением в механике. По его словам, «Механика – это рай среди математических наук, поскольку именно она порождает плоды математики». А впоследствии, в 1496 году, именно Леонардо, скорее всего, добился, чтобы герцог пригласил ко двору и Пачоли в качестве учителя математики. Леонардо, несомненно, учился геометрии и у Пачоли, а ему привил любовь к живописи.

Во время пребывания в Милане Пачоли завершил работу над трехтомным трактатом «О божественной пропорции», вышедшим в свет в Венеции в 1509 году. Первый том, «Compendio de Divina Proportione » («Компендиум о божественной пропорции»), содержит подробный свод всех качеств золотого сечения (его Пачоли называет «божественной пропорцией) и исследование платоновых тел и других многогранников. На первой странице «О божественной пропорции» Пачоли несколько выспренно заявляет, что это «труд, необходимый всем пытливым, ясным человеческим умам, в котором всякий, кто любит изучать философию, перспективу, живопись, ваяние, зодчество, музыку и иные математические дисциплины, найдет весьма тонкое, изящное и прелестное учение и получит наслаждение от разнообразных вопросов, затрагивающих все тайные науки».

Первый том трактата «О божественной пропорции» Пачоли посвятил Людовико Сфорца, а в пятой главе он перечисляет пять причин, почему, по его мнению, золотое сечение следует именовать не иначе как божественной пропорцией.

1. «Она одна, едина и всеобъемлюща». Пачоли сравнивает уникальность золотого сечения с тем обстоятельством, что «Единый» – «Высочайший эпитет самого Господа».

2. Пачоли видит сходство между тем, что определение золотого сечения включает в себя ровно три длины (АС, СВ и АВ на рис. 24), и существованием Святой Троицы – Отца, Сына и Святого Духа.

3. Для Пачоли непостижимость Бога и то обстоятельство, что золотое сечение – иррациональное число, эквивалентны. Вот как он пишет: «Подобно тому, как Господа нельзя определить должным образом и невозможно постичь его посредством слов, так и наша пропорция не может быть передана постижимыми цифрами и выражена через какое бы то ни было рациональное количество, она навеки останется тайной, сокрытой от всех, и математики именуют ее иррациональной».

4. Пачоли сравнивает вездесущесть и неизменность Бога с самоподобием, которое связывают с золотым сечением: его значение всегда неизменно и не зависит от длины отрезка, который делят в соответствующей пропорции, или с размером правильного пятиугольника, в котором вычисляют соотношения длин.

5. Пятая причина показывает, что Пачоли придерживался даже более платоновских взглядов на бытие, чем сам Платон. Пачоли утверждает, что подобно тому, как Господь дал жизнь мирозданию посредством квинтэссенции, нашедшей отражение в додекаэдре, так и золотое сечение дало жизнь додекаэдру, поскольку невозможно построить додекаэдр без золотого сечения. Пачоли добавляет, что невозможно сравнить остальные платоновы тела (символы воды, земли, огня и воздуха) друг с другом без опоры на золотое сечение.

В самой книге Пачоли постоянно разглагольствует о качествах золотого сечения. Он последовательно анализирует 13 так называемых «эффектов» «божественной пропорции» и каждому из этих «эффектов» приписывает эпитеты вроде «неотъемлемый», «неповторимый», «чудесный», «высочайший» и т. д. Например, тот «эффект», что золотые прямоугольники можно вписать в икосаэдр (рис. 22), он называет «непостижимым». Он останавливается на 13 «эффектах», сделав вывод, что «следует завершить этот перечень ради спасения души», поскольку именно 13 человек сидели за столом во время Тайной Вечери.

Не приходится сомневаться, что Пачоли очень интересовался живописью, и целью создания трактата «О божественной пропорции» отчасти было отточить математическую основу изящных искусств. На первой же странице книги Пачоли выражает желание посредством золотого сечения открыть художникам «тайну» гармонических форм. Чтобы обеспечить привлекательность своего труда, Пачоли заручился услугами лучшего иллюстратора, о каком только мог мечтать любой писатель: сам Леонардо да Винчи снабдил книгу 60 рисунками многогранников как в виде «скелетов» (рис. 51), так и в виде сплошных тел (рис. 52). За благодарностью дело не встало – Пачоли написал о Леонардо и его вкладе в книгу так: «Лучший живописец и мастер перспективы, лучший зодчий, музыкант, человек, наделенный всеми возможными достоинствами – Леонардо да Винчи, который придумал и исполнил цикл схематических изображений правильных геометрических тел». Сам же текст, признаться, не достигает заявленных высоких целей. Хотя начинается книга с сенсационных тирад, далее следует довольно-таки обычный набор математических формул, небрежно разбавленных философскими определениями.

Рис. 51

Рис. 52

Вторая книга трактата «О божественной пропорции» посвящена влиянию золотого сечения на архитектуру и его проявлениям в структуре человеческого организма. В основном трактат Пачоли основан на работе римского архитектора Марка Витрувия Поллиона (ок. 70–25 гг. до н. э.). Витрувий писал:

Центральная точка человеческого тела – это, естественно, пупок. Ведь если человек ляжет ничком на спину и раскинет руки и ноги, а на пупок ему поставить циркуль, то пальцы рук и ног у него коснутся описанной окружности. И подобно тому, как тело человека вписывается в круг, так можно из него получить и квадрат. Ведь если мы измерим расстояние от подошв до макушки, а затем применим эту меру к раскинутым рукам, то окажется, что ширина фигуры в точности равна высоте, как и в случае плоских поверхностей, имеющих форму идеального квадрата.

Ученые Возрождения считали этот отрывок очередным доказательством связи между природной и геометрической основой красоты, и это привело к созданию концепции витрувианского человека, которого так прекрасно изобразил Леонардо (рис. 53, в настоящее время рисунок хранится в Галерее Академии в Венеции). Подобным же образом книга Пачоли начинается с обсуждения пропорций человеческого тела, «поскольку в теле человека можно найти пропорции любых видов, по воле Всевышнего явленные через сокровенные тайны природы».

Рис. 53

В литературе можно часто встретить утверждения, что Пачоли будто бы считал, что золотое сечение определяет пропорции всех произведений искусства, однако на самом деле все совсем не так. Говоря о пропорции и внешнем устройстве, Пачоли в основном ссылается на витрувианскую систему, основанную на простых (рациональных) дробях. Писатель Роджер Герц-Фишлер проследил, откуда взялось распространенное заблуждение, что золотое сечение будто бы служило для Пачоли каноном пропорций: оно восходит к ложному утверждению, сделанному в издании «Истории математики» французских математиков Жана Этьена Монтюкла и Жерома де Лаланда 1799 года (Jean Etienne Montucla, Jérôme de Lalande . Histoire de Mathématiques).

Третий том трактата «О божественной пропорции» (короткая книга в трех частях о пяти правильных геометрических телах), в сущности, представляет собой дословный перевод на итальянский «Пяти правильных многогранников» Пьеро делла Франческа, написанных на латыни. То, что Пачоли ни разу не упоминает, что он всего лишь переводчик книги, вызвало у историка искусств Джорджо Вазари горячее осуждение. Вазари пишет о Пьеро делла Франческа:

Почитаясь редкостным мастером в преодолении трудностей правильных тел, а также арифметики и геометрии, он, пораженный в старости телесной слепотой, а затем и смертью, не успел выпустить в свет доблестные труды свои и многочисленные книги, им написанные, кои и поныне хранятся в Борго, у него на родине. Тот, кто должен был всеми силами стараться приумножить его славу и известность, ибо у него научился всему, что знал, пытался как злодей и нечестивец изничтожить имя Пьеро, своего наставника, и завладеть для себя почестями, которые должны были принадлежать одному Пьеро, выпустив под своим собственным именем, а именно брата Луки из Борго [Пачоли], все труды этого почтенного старца, который помимо вышеназванных наук был превосходным живописцем. (Пер. М. Глобачева )

Так можно ли считать Пачоли плагиатором? Весьма вероятно, хотя в «Summa » он все же воздает Пьеро должное, называя его «монархом в живописи наших времен» и человеком, который «знаком читателю по многочисленным трудам по искусству живописи и силе линии в перспективе».

Р. Эмметт Тейлор (1889–1956) в 1942 году выпустил книгу под названием «Нет царского пути. Лука Пачоли и его время» (R. Emmett Taylor . No Royal Road: Luca Pacioli and His Times). В этой книге Тейлор относится к Пачоли с большой симпатией и отстаивает ту точку зрения, что, если исходить из стиля, Пачоли, вероятно, не имеет никакого отношения к третьему тому трактата «О божественной пропорции», и это сочинение ему лишь приписывают.

Так это или не так, неизвестно, однако несомненно, что если бы не печатные труды Пачоли, идеи и математические конструкции Пьеро, которые не были опубликованы в печатном виде, вероятно, не стяжали бы той известности, которая им в результате досталась. Более того, до времен Пачоли золотое сечение было известно под устрашающими названиями вроде «крайнее и среднее отношение» или «пропорция, имеющая среднее и два экстремума», и само это понятие было известно одним лишь математикам.

Публикация «О божественной пропорции» в 1509 году вызвала новую вспышку интереса к теме золотого сечения. Теперь концепцию рассматривали, что называется, свежим взглядом: раз о ней издали книгу, значит, она достойна уважения. Само название золотого сечения оказалось наделено теолого-философским смыслом (божественная пропорция), а это также делало золотое сечение не просто математическим вопросом, а темой, в которую могли углубиться интеллектуалы самого разного толка, причем это разнообразие со временем лишь ширилось. Наконец, с появлением труда Пачоли золотое сечение стали изучать и художники, поскольку теперь о нем говорилось не только в откровенно математических трактатах – Пачоли рассказал о нем так, что этим понятием можно было пользоваться.

Рисунки Леонардо к трактату «О божественной пропорции», начертанные (по выражению Пачоли) «его неописуемой левой рукой», также оказали определенное воздействие на читательскую аудиторию. Вероятно, это были первые изображения многогранников в схематическом, скелетоподобном виде, что позволяло легко представить их себе со всех сторон. Возможно, Леонардо рисовал многогранники с деревянных моделей, поскольку в документах Совета Флоренции сохранились записи о том, что город приобрел набор деревянных моделей Пачоли, дабы выставить их на всеобщее обозрение. Леонардо рисовал не только схемы для книги Пачоли, наброски всевозможных многогранников мы видим повсюду в его заметках. В одном месте Леонардо дает приблизительный метод построения правильного пятиугольника. Слияние математики с изобразительным искусством достигает пика в «Trattato della pittura » («Трактате о живописи»), который составил Франческо Мельци, унаследовавший рукописи Леонардо, по его записям. Начинается трактат с предупреждения: «Тот, кто не математик, да не прочтет мои труды!» – едва ли такое заявление найдешь в современных учебниках по изобразительному искусству!

Рисунки геометрических тел из трактата «О божественной пропорции» вдохновили и фра Джованни да Верона на создание работ в технике интарсии . Интарсия – это особый вид инкрустации деревом по дереву, создание сложных плоских мозаик. Около 1520 года фра Джованни создал инкрустированные панели с изображением икосаэдра, причем в качестве образца он почти наверняка пользовался схематическими рисунками Леонардо.

Пути Леонардо и Пачоли несколько раз пересекались и после завершения трактата «О божественной пропорции». В октябре 1499 года оба бежали из Милана, когда его захватила французская армия короля Людовика XII. Потом ненадолго останавливались в Мантуе и в Венеции и на некоторое время осели во Флоренции. За тот период, когда они дружили, Пачоли создал еще два труда по математике, прославивших его имя – перевод на латынь «Начал» Евклида и книгу о математических развлечениях, оставшуюся неопубликованной. Перевод «Начал», который выполнил Пачоли, был аннотированной версией, основанной на более раннем переводе Джованни Кампано (1220–1296), который был напечатан в Венеции в 1482 году (это было первое печатное издание). Добиться публикации сборника занимательных задач по математике и поговорок «De Viribus Quantitatis » («О способностях чисел») Пачоли при жизни так и не смог – он скончался в 1517 году. Эта работа была плодом сотрудничества между Пачоли и Леонардо, и в заметках самого Леонардо содержится довольно много задач из трактата «De Viribus Quantitatis ».

Конечно, прославила фра Луку Пачоли отнюдь не оригинальность научной мысли, а его влияние на развитие математики в целом и на историю золотого сечения в частности, и этих его заслуг отрицать никак нельзя.

Г.В. Гайдук

Мой учитель бухгалтерского учета говорил: «бухгалтерия это как любовь, знаешь и чувствуешь, а сказать не можешь».

Знаете ли вы господа, что в основу столь необходимой для современного мира науки положена «Божественная пропорция» и знания астрологии. На заре бухгалтерского учета такие принципы впервые сформулировал Лука Пачоли, хотя документальных доказательств и ссылок на астрологию нет, но анализ его работ говорит о большой научной эрудиции, а астрология в средние века была очень уважаемой наукой.

Фрагмент картины. В центре святой Пьеро Мартир.

Предполагают, что Мартир написан с Луки Пачоли.

Кстати, лицо Петра-мученика в «Алтаре Монтефельтро» группового портрета на фреске работы Пьеро дела Франческа, признается за портрет монаха- математика Луки Пачоли, земляка и друга художника. Сам портрет можно увидеть в труде В.Н.Гращенкова «Портрет в итальянской живописи Раннего Возрождения» таб.216, или здесь:

Лука Пачоли был знаком с сочинениями Платона, Евклида, Леонардо Пизано (Фибоначчи), Пелакани, Парма, Региомонтана. Иллюстрации Леонардо к книге Пачоли «О Божественной пропорции» содержали рисунки так называемых правильных тел – пять многогранников, которые Платон определял как формы пяти естественных элементов: пирамида – огня, куб – земли, додекаэдр – неба, октаэдр – воздуха, икосаэдр – воды. К сожалению, некоторые источники в интернете уже исчезли, но по мере возможности интересные ссылки мы приведем.

«Глубоко западут в сознание Пачоли слова Альберти: «Красота есть некое согласие и созвучие частей в том, частями чего они являются» [Лазарев] [ Может быть, красота бухгалтерии это и есть «согласие и созвучие» счетов, составляющих баланс, частями которого они являются.]» .

Золотое сечение – «основной морфологический закон в природе и искусстве».

«Альбер Дюпон, со свойственным ему романским воображением, примерно так, глядя на портрет, относящийся к тому времени, описывает Луку Пачоли: «Красивый, энергичный молодой мужчина; поднятые и довольно широкие плечи обличают врожденную физическую силу, мощная шея и развитая челюсть, экспрессивное лицо и глаза, излучающие благородство и интеллект, подчеркивают силу характера. Такой профессор мог заставить слушать себя и уважать свой предмет» ».

Можно посмотреть и скачать в формате

Остановимся на трактате Пачоли Summa de Arithmetica, Geometria, proportioni et Proportionalita» - «Сумма арифметики, геометрии, учения о пропорциях и отношениях».

Книга Пачоли напечатана на 300 листах in folio, текст на страницах расположен в два столбца, номера, проставленные только на правой странице, относятся к левой и правой страницам, т. е. нумеруются развернутые листы. Структура книги отличается некоторой сложностью. Первоначально она подразделялась на 5 частей: 1 - Арифметика и алгебра. 2 - Различные вопросы, касающиеся торговли (включая векселя и меновые сделки). 3 - Ведение бухгалтерского учета и счетов. 4 - Весы, меры и проценты. 5 - Геометрия. Затем Пачоли посчитал что в таком построении нет совершенства и разделил текст «Суммы» на две части: первая часть посвящена арифметике и алгебре, вторая - геометрии. Вы наверное знаете, что в средние века астрологию часта отождествляли с геометрией и арифметикой, так что говоря об одном подразумевалось и другое. Порядок изложения остался прежним. Нумерация листов в частях самостоятельная, в первой - 224 листа, во второй - 76. (Всего 300 частей, 60 остались за кадром). Каждая часть делится на отделы, отделы - на трактаты, трактаты - на главы. Первая часть; состоит из девяти отделов, восемь из которых посвящены вопросам арифметики и алгебры, а девятый отдел (девятка число Нептуна с которым связаны тайны) - вопросам применения математики в коммерческом деле. В последний отдел входит двенадцать трактатов : I - о товарищах, II об арендах, III - о менах и меновых сделках, IV - о векселях и вексельных сделках, V - о процентных вычислениях… XI - о счетах и записях, XII - о мерах, весах и монетах, о торговых обычаях и местах, с которыми Италия находится в торговых сношениях. Трактат XI, который нас интересует, состоит из 36 глав.

Это и есть собственно трактат о бухгалтерии, XI соответствует знаку Водолея – революция в учете. Состоит из 36 глав – можно провести аналогию с 36 деканами зодиака.

Более успешно сложилась судьба его второй рукописи: «Божественная пропорция. Книга весьма полезная всякому проницательному и жаждущему знания уму, из которой каждый занимающийся философией, перспективой, живописью, скульптурой, архитектурой, музыкой или другими математическими предметами может приобрести приятные, остроумные и удивительно достойные сведения и найти развлечение по разным вопросам и самым секретным знаниям».

«Божественную пропорцию» украшали пять правильных и несколько полуправильных многогранников, выполненных «божественной левой рукой» Леонардо да Винчи.

Первая часть «Божественной пропорции» посвящена вопросам «золотого сечения», вторая - правильным многогранникам, третья - архитектуре.

Но это далеко не все работы мастера, в библиотеке Болонского университета хранится рукопись неизданной работы Л. Пачоли «Du vinbus quantitatis» - «О силах в количестве». В предисловии мы находим страшную фразу: «…приближаются последние дни моей жизни» . Книга «О силах в количестве» никогда не была опубликована, у автора не хватило уже силы преодолеть препятствия. Точно так же не увидел света и даже был утерян «Трактат о шахматной игре», посвященный графу и графине Мантуанским.

Л. Пачоли изучал и вводил в текст своих сочинений советы Ветрувия, призывая читателей быть внимательными к ним и усердно запечатлевать их. Древние дают знания, но, кроме умения, считал Пачоли, нужно обладать талантом пополнять недостающее и убавлять лишнее, смотря по обстоятельствам, т.е. творчески усваивать античное наследие».

В «Сочинениях Евклида» Пачоли говорил:

«Всякий, кто стремится постичь любое искусство, науку или профессию, да поспешит к этой основе (пропорции), от которой проистекает всякое живое знание. И тогда разум его воспарит к звездам ».

«Так же, как еда без удовольствия превращается в скучное питание, так занятие наукой без страсти повреждает память, которая становится неспособной удерживать то, что она схватывает ».

«Из всех истинных наук, как утверждают Аристотель и Аверроэс, наши математические науки наиболее истинны и имеют первую степень достоверности, им следуют все другие естественные науки ».

Относительно недавно японские исследователи, просматривая старинные церковные книги, нашли запись, из которой стало ясно, что он умер 19 июня 1517 года. Но запись эта сделана не в монастырских книгах Сан-Сеполькро, а в книгах монастыря Святого Креста во Флоренции.

Что же ценного создал Лука Пачоли - бухгалтер? Современные исследователи отмечают шесть главных моментов, которые он привнес в бухгалтерский учет:

1. Теоретическое истолкование двойной записи. Пачоли первым попытался объяснить такие понятия, как дебет и кредит, хотя он и не употребляет этих терминов. Он создал персонификацию учета и тем самым заложил основы для его юридического истолкования, получившего полное выражение в работах Э. Дегранжа и Дж. Чербони. П. Гарнье, видный французский бухгалтер, назовет свою книгу «Учет - алгебра права», хотя принцип двойной записи он объясняет исходя из причинно-следственных связей (кредит-причина, дебет- следствие).

2. Персонификация приводила к возможности самостоятельного рассмотрения таких абстрактных бухгалтерских категорий, как дебет и кредит. Тем самым создавались условия для выделения бухгалтерского учета в отдельную науку.

3. Бухгалтерский учет рассматривался как самостоятельный метод, основанный на применении двойной записи, имеющий приложение для отражения хозяйственных процессов, как на отдельных предприятиях, так и выходящих за их рамки.

4. Отражение двойной записи на счетах, которые трактуются как система (план) учета. Организация системы (плана) не может быть постоянной, а должна зависеть от цели, преследуемой администрацией.

5. Пачоли впервые ввел в бухгалтерский учет моделирование, основанное на комбинаторике (замечательные примеры мы находим в главах и ). Такой подход позволял построить общую модель, в рамках которой любая учетная задача истолковывалась как частный случай.

6. В неявном виде у Пачоли присутствуют определенные бухгалтерские принципы, отдельные из них проявляются до сих пор.

Теперь небольшие собственные комментарии.

Трудно себе представить, что Лука Пачоли не был знаком с принципами «божественных пропорций» науки астрологии.

«Для более правильного уяснения всего метода мы представим кого-либо, кто начинает торговлю, и укажем, как ему следует поступать при составлении своих счетов и записей, чтобы он легко мог в общем, их своде находить все на своем месте. Ибо если не помещать всякую вещь на принадлежащее ей место, то происходит путаница в собственных делах по известной пословице: «где нет порядка, там начинается беспорядок ».

Давайте проясним - принцип двойной записи, или условно говоря (кредит- причина, дебет - следствие) это механизм работы астрологического аспекта между планетами.

«Старайся, чтобы счета, … всегда и во всех отношениях согласовались со счетами этих учреждений как в «Дать», так и в «Иметь ».

Как уже было сказано, в Журнале встречаются два выражения: одно «на», другое «от», и каждое из них имеет свое особое значение: «на» обозначает всегда должника (дебитора) - одного или многих, «от» - всегда верителя (кредитора) - одного или многих »» .

А вот наиточнейшее описание цепочки планет и из градархов:

«Таким образом, все статьи Главной книги оказываются связанными между собой как бы цепью. В этой Главной книге ничто не мoжeт быть занесено в «Дать», чего нет в «Иметь», и взаимно нельзя поместить в «Иметь» сумму, которая не занесена в «Дать». Так возникает баланс между «Дать» и «Иметь», который составляется при закрытии Главной книги. Следовательно, в итоге сальдо Главной книги должно оказаться в «Дать» столько же, сколько в «Иметь »»

Известные счета можно сопоставить с астрологическими деканами, субсчета с термами или градусами гороскопа.

Баланс предприятия, простите за наивность браза, есть арифметическая или суммовая составляющая картинка всего гороскопа.

«Чтобы статьи инвентаря перенести в эту книгу, как и в Главную, ты должен усвоить себе два других выражения: одно из них - «Касса», а другое - «Капитал». Под словом «Касса» следует разуметь наличные деньги или собственный твой кошель, а под словом «Капитал» - совокупность настоящего твоего имущества» .

Если у нас «Касса» или «Инвентарь» отражают планетарный принцип, то мемориальный (который уже отражает не только количество, но и качество и назначение) – аналогичен планете в знаке или в доме. Итак, журнальный принцип должен давать аналитическую информацию, в астрологии аналог информации по функциям взаимоотношений какой-то планеты в конкретном доме или знаке с планетами управителями дома или знака. Например, современный второй журнал ордер собирает информацию по всем банковским счетам и соответствует второму дому гороскопа или знаку Телец.

Лука Почоли так и говорит Инвентарь (наше пояснение — планеты), а потом для анализа 3 книги Мемориал (анализ планеты в знаке и доме), Журнал (анализ дома), главная (синтез всей информации).

«Сначала поговорим, о торговле вообще, относительно ее требований. Непосредственно после Инвентаря объясняю, что для легкости и удобства требуются три книги: одна называется Мемориалом, другая - Журналом, а третья - Главной ».

Но идею мемориального и журнального ордера более полно и подробно описал другой бухгалтер и астролог, величайший математик и замечательный врач, снискавший у современников славу великого астролога (предсказал скорую смерть Эдуарда VI Тьюдора [Этого короля знают все дети: он герой повести М. Твена «Принц и нищий». Предсказать раннюю смерть будущего короля Кардано было легко не как астрологу, а как врачу.] ), - автор, полагавший, что бухгалтерия - это наука, лежащая на стыке математики и черной магии, - Джироламо Кардано .

В книге, изданной в 1539 году (второе издание - 1663 г.), две главы (60 и 68) были посвящены бухгалтерскому учету, причем одна глава содержала перечень ошибок Пачоли. У Кардано выдвигается идея накопительной ведомости: в Мемориале накапливались однородные операции, по итогам которых делались записи в Журнале и в Главной книге.

Основной закон Кардано в бухгалтерии – применение принципа группировки учетных данных по домам гороскопа. В современном учете первому дому соответствуют Основные средства или производственные мощности предприятия, второму дому все банковские счета, запасы и т.д. Современная классификация немного отошла от этого принципа, другие задачи, все в 12 дом ушло. Но господа, разложите бухгалтерский баланс с позиций принципов астрологии, и вам многое станет понятно. Можно Соляр и мини соляр вспомнить, привязать их к годовому балансу и месячному отчету. Словом, симфония цифр:))))))).

Еще более забавную картину можно наблюдать при трактовке бюджета страны, когда ВВП растет, а мы не замечаем. ВВП – мыльный пузырь, если нет развития в бюджете развития по 6-му и 11-му дому, так как 6 дом реальное производство, а 11 дом реформирование, модернизация производства, направленность в будущее. А в реале в России происходит съедание, а правильнее кража основы (четвертый знак от Водолея) по Тельцу бюджетных источников.

Скажите на милость господа, бухгалтерский учет, построенный на принципах двойной записи это реальность или мистика? Почему же астрология, которая построена на более совершенных принципах гармонии, считается некоторыми лженаукой? Астролог он конечно не бухгалтер, в экономических терминах он аудитор, который поможет вам найти ошибки в балансе, подскажет где скрыты резервы, а где махинации.

«Величие Пачоли было как раз в том, что его идеи продолжали жить независимо от Трактата, эти идеи стали «народной песней», которую «пел» весь мир, забыв о ее авторе».

Но забыли не только о Пачоли, забыли о божественной пропорции в экономике и учете, а значит и о законах астрологии. Астрология это переживет, а вот выдержит ли экономика?

«Всякий утверждает, что заведенный им порядок лучше других, и потому очень часто записи в этих учреждениях бывают так запутаны, что о согласовании книг и речи быть не может, и горе тому, кто имеет дела с учреждениями такого рода. Поэтому старайся всегда иметь голову на плечах, когда ведешь дело с такими людьми, которые действуют, может быть, и с лучшими намерениями, но тем не менее обнаруживают полное неведение ».

Транскрипт

1 Лука Пачоли и его трактат «О божественной пропорции» А. И. ЩЕТНИКОВ Биографический очерк ЛУКА ПАЧОЛИ (LUCA PACIOLI или PACIOLLO) родился в 1445 году в небогатой семье БАР- ТОЛОМЕО ПАЧОЛИ в небольшом городке Борго Сан-Сеполькро, расположенном на берегу Тибра, на границе Тосканы и Умбрии, и принадлежавшем в то время Флорентийской республике. Подростком он был отдан на обучение в мастерскую знаменитого художника ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА (ок), жившего в этом же городке. Обучение в мастерской не сделало его художником, однако выработало отменный вкус, а главное, здесь он впервые приобщился к математике, глубоко интересовавшей его учителя. Вместе со своим учителем ЛУКА часто посещал двор ФЕДЕРИКО ДЕ МОНТЕФЕЛЬТРО, герцога Урбинского. Здесь его заметил великий итальянский зодчий ЛЕОН БАТИСТА АЛЬБЕРТИ (), который в 1464 году рекомендовал молодого человека богатому венецианскому купцу АН- ТОНИО ДЕ РОМПИАНЗИ в качестве домашнего учителя. В Венеции ЛУКА учил сыновей своего патрона и учился сам, посещая лекции знаменитого математика ДОМЕНИКО БРАГАДИНО в школе Риальто. В 1470 году он составил свою первую книгу учебник коммерческой арифметики. В этом же году он оставил Венецию и перебрался в Рим, где был принят АЛЬБЕРТИ и поселился в его доме. Однако через два года ПАЧОЛИ покинул Рим и принял монашеский постриг, став францисканцем. После пострига брат ЛУКА некоторое время живёт на родине в Сан-Сеполькро. С 1477 по 1480 год он преподаёт математику в университете в Перудже. Затем в течении восьми лет он живёт в Заре (ныне Задар в Хорватии), где занимается теологией и математикой, иногда совершая по делам ордена поездки по другим городам Италии. В эти годы ПАЧОЛИ начал писать главный труд своей жизни энциклопедическую Сумму арифметики, геометрии, отношений и пропорций. В 1487 году его вновь приглашают занять кафедру в Перудже. В последующие годы он живёт в Риме, Неаполе, Падуе. 12 октября 1492 года умирает ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА. В следующем году работа ПА- ЧОЛИ над Суммой была, наконец, завершена. С этой рукописью он приезжает в Венецию, где в ноябре 1494 году эта книга, посвящённая юному ГВИДО УБАЛЬДО ДЕ МОНТЕФЕЛЬТРО (), ставшему в 1482 г. после смерти отца герцогом Урбинским, выходит в свет. Примечательно то, что книга написана не на обычной для учёных трудов латыни, а на итальянском языке. У некоторых авторов можно прочитать, что ЛУКА писал свои трактаты на итальянском языке, потому что он не получил соответствующего образования и не владел латинским языком в совершенстве. Однако он был магистром теологии, а латынь была единственным языком теологических трактатов; он преподавал математику в различных университетах, а там все предметы читались на латыни; и он же перевёл всего ЕВКЛИДА с латыни на итальянский (правда, этот перевод так и не был издан). Потому, хотя он и не владел гуманистической латынью, школьная латынь была для него повседневным языком. Стало быть, причина, по которой он предпочёл итальянский язык латыни, состояла в дру-

2 ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 2 гом. Вот что говорит об этом сам ЛУКА в посвящении к Сумме (написанном и на итальянском, и на латинском языке): Правильное понимание трудных терминов среди латинистов прекратилось ввиду того, что хорошие учителя стали редки. И хотя для Вашего Герцогского Высочества лучше подошёл бы стиль Цицерона или ещё более высокий, однако я полагаю, что этим источником красноречия не всякий сумеет воспользоваться. Так что, принимая во внимание интересы общей пользы ваших почтительных подданных, я решил написать своё сочинение на родном местном языке, чтобы и образованные, и не образованные в равной мере могли получить удовольствие от этих занятий. В предисловии к Сумме ПАЧОЛИ рассказывает о тех людях, благодаря общению с которыми у него сложилось убеждение в том, что математика рассматривает «всеобщую закономерность, применимую ко всем вещам». Он говорит об астрономии, о научном подходе к архитектуре, воплощённом в трудах ВИТРУВИЯ и АЛЬБЕРТИ, о многочисленных живописцах, развивавших искусство перспективы, «которая, если разобраться тщательно, была бы пустым местом без применения математических вычислений», среди которых выделяется «король нашего времени в живописи» ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА, о замечательных скульпторах. Это те мастера, «которые, пользуясь вычислениями в своих работах с помощью нивелира и циркуля, довели их до необычайного совершенства». ПАЧОЛИ говорит также о значении математики для музыки, для космографии, для торговли, для механических искусств, для военного дела. Сумма арифметики, геометрии, отношений и пропорций это обширный энциклопедический труд, напечатанный на 300 листах in folio. Первая часть в 224 листа посвящена арифметике и алгебре, вторая, в 76 листов геометрии. Нумерация листов в обеих частях начинается заново. Каждая часть делится на отделы, отделы на трактаты, трактаты на главы. В арифметической части Суммы излагаются приёмы выполнения арифметических действий; эта часть опирается на многочисленные Книги абака, принадлежавшие разным авторам. Алгебраические задачи, решаемые в Сумме, не выходят за пределы круга задач на линейные и квадратные уравнения, рассматривавшегося в арабских трактатах по «алгебре и альмукабале»; в Европе эти задачи были известны по Книге абака ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКО- ГО (). Из задач, привлёкших внимание математиков последующих поколений, следует отметить задачу о разделе ставки при незавершённой игре, которую сам ЛУКА решил неправильно. Пожалуй, самое существенное нововведение ПАЧОЛИ состоит в систематическом использовании синкопированной алгебраической записи своеобразной предшественницы последующего символического исчисления. Книга содержит таблицу монет, весов и мер, принятых в разных частях Италии, а также руководство по венецианской двойной бухгалтерии. Что касается геометрической части Суммы, она следует за Практической геометрией ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКОГО. В первой половине 90-х годов ПАЧОЛИ живет в Урбино. Именно к этой эпохе относится картина ЯКОПО ДЕ БАРБАРИ, на которой ПАЧОЛИ изображён в сопровождении неизвестного молодого человека. По поводу личности этого молодого человека выдвигались разные гипотезы. Наиболее правдоподобным представляется предположение о том, что это герцог ГВИДО УБАЛЬДО, покровитель ПАЧОЛИ.

3 ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 3 Рис. 1. Портрет ЛУКИ ПАЧОЛИ и неизвестного молодого человека. Картина ЯКОПО ДЕ БАРБАРИ (Неаполь, Национальный музей) В 1496 году учреждается кафедра математики в Милане, и ПАЧОЛИ предлагают её занять. Здесь он читает учебные лекции студентам и публичные всем желающим. Здесь же, при дворе герцога ЛОДОВИКО МОРО СФОРЦА () он сближается с ЛЕОНАРДО ДА ВИНЧИ. В записных книжках ЛЕОНАРДО сохранились записи: «Научись умножению корней у маэстро ЛУКИ», «попроси брата из Борго показать тебе книгу о весах». ПАЧОЛИ выполнил для ЛЕОНАРДО расчёты веса гигантского конного памятника ФРАНЧЕСКО СФОРЦА. В Милане ПАЧОЛИ написал послание О божественной пропорции, адресованное герцогу ЛО- ДОВИКО СФОРЦА, а ЛЕОНАРДО выполнил к нему иллюстрации. Трактат был завершён 14 декабря 1498 года. К нескольким рукописным экземплярам трактата, вручённым властительным особам, прилагался набор правильных многогранников и других геометрических тел, о которых брат ЛУКА говорит, что изготовил их собственноручно. (О моделях правильных многогранников он писал ещё в Сумме.) Сохранилось две рукописи этого трактата одна в Публичной библиотеке в Женеве, вторая в Амброзианской библиотеке в Милане. В 1499 году французская армия заняла Милан, и герцог СФОРЦА бежал; ЛЕОНАРДО и ЛУКА в скором времени покинули город. В последующие годы ЛУКА ПАЧОЛИ читает лекции в Пизе (1500), Перудже (1500), Болонье () и Флоренции (). Во Флоренции ему покровительствует ПЬЕТРО СОДЕРИНИ, пожизненный гонфалоньер Республики. Однако не все труды ПАЧОЛИ напечатаны, и поэтому он снова едет в Венецию. Здесь в 1508 году он издаёт латинский перевод ЕВКЛИДА, принадлежащий ДЖОВАННИ КАМПАНО из Новары. Этот перевод, сделанный ещё в 1259 году с арабского языка, уже издавался в 1482 году и затем несколько раз переиздавался, но издание изобиловало опечатками и ошибками. ПАЧОЛИ отредактировал перевод; по этой редакции, снабжённой многочисленными комментариями, он и читал свои университетские лекции. Однако издание оказалось невостребованным, поскольку в 1505 году БАРТОЛОМЕО ДЗАМБЕРТИ издал новый перевод Начал, выполненный непосредственно с греческого оригинала. В 1509 году в Венеции была издана ещё одна книга ПАЧОЛИ: Divina proportione. Opera a tutti glingegni perspicaci e curiosi necessaria. Ove ciascun studioso di Philosophia, Prospectiva,

4 ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 4 Pictura, Sculptura, Architectura, Musica e altre Mathematice suavissima sottile ed admirabile doctrina consequira e delectarassi con varie questione de secretissima scientia («Божественная пропорция. Сочинение, весьма полезное всякому проницательному и любознательному уму, из коего каждый изучающий философию, перспективу, живопись, скульптуру, архитектуру, музыку или другие математические предметы извлечёт приятнейшее, остроумное и удивительное учение и развлечёт себя различными вопросами сокровеннейшей науки»). Это печатное издание включает в себя ряд текстов. Изданию предпослано обращение к флорентийскому гонфалоньеру ПЬЕТРО СОДЕРИНИ. Первая часть (33 листа) содержит послание О божественной пропорции, а также трактат об архитектуре, о пропорциях человеческого тела и о принципе построения букв латинского алфавита. За ней следует Книжка в трёх отдельных трактатах о правильных телах (27 листов), из коих первый трактат рассматривает плоские фигуры, второй правильные тела, вписанные в сферу, третий правильные тела, вписанные друг в друга. Далее идут графические таблицы, отпечатанные с одной стороны листа: пропорции человеческого лица (1 лист), принцип построения букв латинского алфавита (23 листа), изображения архитектурных элементов (3 листа), выполненные на основе рисунков ЛЕОНАРДО изображения правильных и других тел (58 листов), и, наконец, «дерево пропорций и пропорциональности» рисунок, который ПАЧОЛИ уже приводил в Сумме (1 лист). В послании О божественной пропорции ЛУКА ПАЧОЛИ говорит о том, что ему, как старому человеку, пора на покой, чтобы «в солнечном месте подсчитывать годы». Эта его просьба была услышана, и в 1508 году он становится местоблюстителем монастыря в родном Сан-Сеполькро. Однако в декабре 1509 г. два монаха его монастыря передали генералу ордена письмо, в котором указывали на то, что «маэстро ЛУКА неподходящий человек, чтобы управлять другими», и просили освободить его от административных обязанностей. Но поддержки у начальства они не нашли, и в феврале 1510 года ЛУКА ПАЧОЛИ становится полноправным приором родного монастыря. Впрочем, распри внутри монастыря продолжались и далее. В последние годы своей жизни брат ЛУКА продолжал ещё иногда читать лекции; его приглашали в Перуджу в 1510 году и в Рим в 1514 году, причём последнее приглашение исходило от нового папы ЛЬВА X. Умер ЛУКА ПАЧОЛИ в возрасте 72 лет, 19 июня 1517 года во Флоренции. Обзор послания «О божественной пропорции» В послании ЛУКИ ПАЧОЛИ О божественной пропорции выделяются следующие содержательные части: Введение (гл. 1 4). Божественные качества, определение и математические свойства пропорции, возникающей при делении величины в среднем и крайнем отношении (гл. 5 23). О правильных телах, почему их не может быть больше пяти и как каждое из них вписывается в сферу (гл). О том, как правильные тела вписываются друг в друга (гл). О том, как в каждое из этих тел вписывается сфера (гл. 47). О том, как из правильных тел получаются усечённые и надстроенные (гл). О других телах, вписанных в сферу (гл). Сфера (гл). О колоннах и пирамидах (гл). О материальных формах представленных тел и их перспективных изображениях (гл. 70). Глоссарий (гл. 71).

5 ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 5 Под «божественной пропорцией» ПАЧОЛИ понимает непрерывную геометрическую пропорцию трёх величин, которую ЕВКЛИД называет «делением в среднем и крайнем отношении», а в XIX веке её стали называть «золотым сечением». В определении этой пропорции и описании её свойств ПАЧОЛИ следует за ЕВКЛИДОМ. Данная пропорция возникает при делении целого на две части, когда целое так относится к большей части, как большая часть относится к меньшей. На языке равенства площадей эта же пропорция задаётся так: квадрат на большей части равен прямоугольнику, сторонами которого служат целое и меньшая часть. Особую ценность, выделенность отношения «божественной пропорции» среди прочих отношений брат ЛУКА обосновывает доводами метафизического и теологического характера. Единственность и неизменность данной пропорции сравнивается с единственностью и неизменностью Бога, три её члена с тремя ипостасями Святой Троицы, иррациональность отношения с непостижимостью и невыразимостью Бога. Но помимо этих доводов имеется ещё один: с этой пропорцией связаны процедуры построения правильного плоского пятиугольника, и телесных додекаэдра и икосаэдра. Но ПЛАТОН в Тимее рассматривал пять правильных тел в качестве пяти элементов, из которых состоит Вселенная. Таким образом, в метафизических построениях ПАЧОЛИ соединяются мотивы христианского богословия и платоновской космологии. Далее ЛУКА излагает различные свойства «божественной пропорции», известные по XIII и XIV книге Начал ЕВКЛИДА. Всего он рассматривает тринадцать таких свойств, связывая это число с числом участников тайной вечери. Вот пример одного из этих свойств: «Пусть прямая линия разделена в пропорции, имеющей середину и два края, тогда если к большей части прибавить половину всей пропорционально разделённой линии, то с необходимостью окажется, что квадрат суммы всегда будет пятикратным, то есть в 5 раз большим квадрата указанной половины». Все эти свойства он сопровождает одним и тем же числовым примером, когда длина целого отрезка равна 10, а его части составляют: меньшая, а большая Пример с алгебраическим делением 10 в среднем и крайнем отношении был заимствован ЛУКОЙ ПАЧОЛИ у ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКОГО (), а последним у АБУ КАМИЛА () и АЛ-ХОРЕЗМИ (). Само вычисление корней соответствующего квадратного уравнения в трактате не производится: здесь ЛУКА ссылается на свою же Сумму, где этот результат получен «по правилам алгебры и альмукабалы». И вообще, выбранный им жанр послания предопределяет собой тот факт, что ПАЧОЛИ все результаты приводит без доказательства, хотя эти доказательства ему, вне всякого сомнения, известны. Вслед за этим ПАЧОЛИ рассматривает пять платоновских тел. Сначала он доказывает теорему том, что этих тел ровно пять, и не больше. Затем он приводит построения всех пяти тел, вписанных в данную сферу, в следующем порядке: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр. Далее рассматривается пропорция между сторонами этих тел, вписанных в одну и ту же сферу, и приводится ряд теорем о соотношениях между их поверхностями. Затем рассматриваются некоторые способы, по которым одно правильное тело может быть вписано в другое. Наконец, обсуждается теорема о том, что в каждое правильное тело тоже может быть вписана сфера. Теперь ПАЧОЛИ на время оставляет ЕВКЛИДА и переходит к новому материалу. А именно, он рассматривает тела, которые могут быть получены из правильных тел путём «усечения» либо «надстройки». Тела, которые получаются из правильных тел усечением это

6 ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 6 некоторые из полуправильных тел АРХИМЕДА. Всего имеется тринадцать полуправильных тел, что было доказано АРХИМЕДОМ. Но ПАЧОЛИ с обзором этой работы АРХИМЕДА, имеющимся у ПАППА, не был знаком. Из тринадцати полуправильных тел он рассматривает шесть: усечённый тетраэдр, кубоктаэдр, усечённый октаэдр, усечённый икосаэдр, икосидодекаэдр и усечённый ромбикубоктаэдр. Два тела усечённый куб и усечённый додекаэдр он пропустил по непонятной причине, хотя их построение аналогично построению усечённых тетраэдра, куба и икосаэдра. Что касается усечённого ромбикубоктаэдра («тела с 26 основаниями»), ПАЧОЛИ открыл его, по-видимому, сам, и очень гордился этим открытием: именно это тело, изготовленное из прозрачных стеклянных пластин и наполовину заполненное водой, изображено в левой верхней части картины ЯКОПО ДЕ БАРБАРИ. Надстроенные правильные и надстроенные усечённые тела у ПАЧОЛИ это не то же самое, что исследовавшиеся в последующей математике звёздчатые многогранники КЕП- ЛЕРА. Тела КЕПЛЕРА получаются продлением плоскостей исходных многогранников; тела ПАЧОЛИ построением на каждой грани исходного многогранника пирамиды, боковые стороны которой являются равносторонними треугольниками. ПАЧОЛИ приводит интересную теорему о том, что в надстроенном икосидодекаэдре пять вершин треугольных пирамид и вершина пятиугольной пирамиды лежат в одной плоскости; опущенное доказательство «возводится тончайшей практикой алгебры и альмукабалы до редкой отметки». Далее рассматривается «тело с 72 основаниями», которым ЕВКЛИД пользовался как вспомогательным в последних двух предложениях XII книги Начал; это тело в литературе иногда называют «сферой КАМПАНО» (рис. 2). ПАЧОЛИ утверждает, что форма этого тела послужила геометрической основой для купола Пантеона в Риме и для сводов ряда других построек. Рис. 2. Рис. 3. Один из рисунков Леонардо да Винчи. Гравюра из печатного издания трактата. Вслед за этим ПАЧОЛИ говорит о том, что усечением и надстройкой может быть получено бесчисленное множество многогранных форм, и переходит к рассмотрению сферы, ещё раз касаясь вписания в неё правильных тел.

7 ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 7 Последняя часть послания О божественной пропорции вновь возвращает нас к ЕВКЛИ- ДУ. Здесь рассматриваются многогранные призмы и цилиндр, затем многогранные пирамиды и конус, затем усечённые пирамиды. Пачоли приводит правила для вычисления объёмов всех этих тел, всюду указывая на то, какие из этих правил являются приближёнными, а какие точными. Далее ПАЧОЛИ пишет о том, что к рукописным копиям трактата, вручаемым герцогу и его родственникам, прилагаются таблицы с перспективными рисунками, сделанными ЛЕ- ОНАРДО ДА ВИНЧИ, а также «материальные формы» всех упомянутых в нём тел. Рисунки и формы многогранников были изготовлены в двух вариантах сплошные, с цельными плоскими гранями, и полые, с одними только рёбрами. Выполнял ли ЛЕОНАРДО свои рисунки чисто расчётным путём или с натуры, мы не знаем. Часть рисунков выполнена с заметной для глаза погрешностью, однако её можно объяснить как неточностью расчётов, так и переменой точки, с которой рассматривалось изображаемое тело. Послание завершается словариком, в котором ещё раз разъясняются употреблявшиеся в тексте специальные термины. Золотое сечение в «древней» и в «новой» эстетике Многочисленные популярные и специальные книги и статьи, посвящённые проблеме пропорций в искусстве, рассматривают золотое сечение в качестве «самой совершенной» пропорции, причём это совершенство трактуется в этих книгах по преимуществу психологически: прямоугольник с «золотым» отношением сторон считается самым приятным для зрительного восприятия, и т. п. В этих публикациях принято рассматривать разнообразные произведения изобразительного искусства и памятники архитектуры, созданные мастерами античности и Возрождения, в качестве примеров, подтверждающих этот тезис. Надо заметить, что от античности до нас не дошло не одного текста, в котором деление величины в среднем и крайнем отношении обсуждалось бы в качестве формообразующего начала в изобразительном искусстве и архитектуре. Похоже, что таких текстов и вовсе не существовало. Для сравнения можно рассмотреть так называемую музыкальную пропорцию 12: 9 = 8: 6, задающую структуру музыкальной гармонии. Эта пропорция, открытая пифагорейцами, упоминается в десятках античных текстов, посвящённых теории музыки, как специальных, так и общефилософских. Странно было бы, если бы золотое сечение играло аналогичную роль в архитектуре, скульптуре и живописи, а у античных авторов не осталось об этом ни одного свидетельства. Все античные тексты, в которых обсуждается деление величины в среднем и крайнем отношении это сугубо математические трактаты, в которых данное построение рассматривается исключительно в связи с построением правильного пятиугольника, а также двух правильных платоновских тел икосаэдра и додекаэдра (обзор этих текстов см. HERZ-FISHLER 1998). Верно то, что интерес к правильным телам, а тем самым и к золотому сечению, не был сугубо математическим: ведь ПЛАТОН вслед за пифагорейцами стал рассматривать пять правильных тел в качестве элементарных основ мироздания, поставив тетраэдр в соответствие огню, куб земле, октаэдр воздуху, икосаэдр воде, а форму додекаэдра он связал со Вселенной в целом. В этом плане, конечно, можно говорить об эстетической значимости золотого сечения, как это делал в своих сочинениях А. Ф. ЛОСЕВ; но сама эта «эстетика» носит отнюдь не психологический, но космологический характер.

8 ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 8 В эпоху Возрождения Возвращение произошло возвращение к космологическим картинам античного платонизма, и трактат ЛУКИ ПАЧОЛИ О божественной пропорции является важнейшим памятником этого математико-спекулятивного направления. ЛУКА воспевает «божественную пропорцию» в начальных главах своего трактата, называя её свойства «не природными, но поистине божественными». Однако его воззрения на значение этой пропорции остаются привязанными к космологии платоновского Тимея, и «величайшая гармония», о которой он говорит это гармония космоса, и никакая другая. И хотя ПАЧОЛИ приложил к посланию О божественной пропорции трактат об архитектуре и о пропорциях человеческого тела, но о золотом сечении в этом трактате он не обмолвился ни единым словом. Стало быть, никакого другого взгляда на золотое сечение, кроме математикокосмологического, у него не было, и мысль о том, что золотое сечение может выступать в качестве базовой пропорции произведений архитектуры и живописи, ему просто не приходила в голову. В точности такие же воззрения характерны для ИОГАННА КЕПЛЕРА и других авторов эпохи Возрождения, интересовавшихся золотым сечением и ролью правильных многогранников в «гармонии мира». Так что искать в их сочинениях некую концепцию золотого сечения, связанную с эстетикой произведений искусства, это совершенно напрасное занятие, поскольку её там попросту не было. Судьба сочинений Пачоли. Вопрос о плагиате После смерти ПАЧОЛИ о его сочинениях помнили не слишком долгое время. Наступала эпоха грандиозных научных свершений, когда в науке стали цениться в первую очередь новые результаты, а книги ПАЧОЛИ представляли собой обзоры того, что было сделано в прежние времена. ДЖИРОЛАМО КАРДАНО () назвал ПАЧОЛИ компилятором, в чём он, со своей точки зрения, был вполне прав. Впрочем, другой выдающийся математик этой эпохи, РАФАЭЛЬ БОМБЕЛЛИ (), сказал, что ПАЧОЛИ был первым после ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКОГО, «кто пролил свет на науку алгебры». Возрождение интереса к личности и сочинениям ПАЧОЛИ датируется 1869 годом, когда Сумма попала в руки к миланскому профессору математики ЛЮЧИНИ, и он обнаружил в ней Трактат о счетах и записях. После этого открытия на ПАЧОЛИ стали смотреть как на родоначальника науки о бухгалтерском учёте, и именно этот трактат оказался самой востребованной частью его наследия, много раз переводившейся на другие языки, в том числе и на русский. Впрочем, уже вскоре после первых публикаций Трактата о счетах и записях среди исследователей разгорелись жаркие споры о том, был ли ЛУКА ПАЧОЛИ его действительным автором. Было высказано сомнение, мог ли человек, далёкий от торговых дел, составить такой трактат. А если не мог, то не следует ли предположить, что здесь совершён плагиат? Думается всё же, что обвинение в плагиате в данном случае неправомочно. ПАЧОЛИ нигде не говорит, что это он изобрёл двойную бухгалтерию; он лишь описывает её нормы «по венецианскому обычаю». Но ведь если мы откроем любое современное руководство по бухгалтерскому учёту, оно будет представлять собой в точности такое же нормативное описание, без ссылок на предшественников. И если ПАЧОЛИ описывает систему бухгалтерского учёта по какой-то прочитанной им рукописи, то ведь он и правила умножения в столбик тоже не сам придумал, однако в данном случае обвинять его в плагиате никому не

9 ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 9 приходит в голову. А ознакомиться с системой двойной бухгалтерии на практике он мог в то время, когда состоял домашним учителем в богатом купеческом доме. Другое серьёзное обвинение в плагиате было выдвинуто против ПАЧОЛИ ещё в 1550 году, когда ДЖОРДЖЕ ВАЗАРИ () в своей книге Жизнеописания знаменитых живописцев, ваятелей и зодчих в главе, посвящённой ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА, написал следующее: И хотя тот, кто должен был всеми силами стараться приумножить его славу и известность, ибо у него научился всему, что знал, пытался как злодей и нечестивец изничтожить имя ПЬЕРО, своего наставника, и завладеть для себя почестями, которые должны были принадлежать одному ПЬЕРО, выпустив под своим собственным именем, а именно брата ЛУКИ из Борго, все труды этого почтенного старца. Математические сочинения ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА долгое время считались утерянными. Однако в 1903 году ДЖ. ПИТТАРЕЛЛИ обнаружил в Ватиканской библиотеке рукопись Petri Pictoris Burgensis de quinque corporibus regularibus («ПЕТРА, художника из Борго, о пяти правильных телах»). Несколько позже были обнаружены ещё две рукописи ПЬЕ- РО: Перспектива в живописи (De perspectiva pingendi) и Об абаке (De abaco). Тогда же было установлено, что найденный латинский манускрипт О пяти правильных телах и три итальянских трактата о правильных телах в печатном издании De Divina Proportione представляют собой две близкие версии одного и того же текста. Сохранившаяся рукописная книжка ПЬЕРО О пяти правильных телах посвящена ГВИДО УБАЛЬДО ДЕ МОНТЕФЕЛЬТРО, герцогу Урбинскому. Герцогский титул он получил в 1482 году после смерти отца. ПЬЕРО умер в 1492 году. Стало быть, дошедший до нас экземпляр книжки был переписан набело в промежутке между гг. Однако сама книжка могла быть создана и раньше. ЛУКА ПАЧОЛИ в Сумме (VI, I, II) говорит, что книжку по перспективе ПЬЕРО написал на итальянском, а латинский перевод выполнил его друг МАТ- ТЕО ДАЛЬ БОРГО. Таким же образом мог появиться на свет и латинский текст книжки О пяти правильных телах. Во всяком случае, итальянский текст, опубликованный впоследствии ПАЧОЛИ, естественно рассматривать как исходный. Что касается этой публикации в приложении к изданию Божественной пропорции, её полное заглавие звучит следующим образом: Libellus in tres partialis tractatus divisus quinque corpore regularium e dependentium active per scrutationis. D. Petro Soderino principi perpetuo populi florentinia. M. Luca Paciolo, Burgense Minoritano particulariter dicatus, feliciter incipit («Книжка, разделённая на три отдельных трактата, о пяти правильных и зависимых [от них] телах, последовательно рассмотренных. Г[осподину] ПЕТРУ СОДЕРИНИ, постоянному предводителю флорентийского народа. М[аэстро] ЛУКА ПАЧОЛИ, миноритом из Борго, по частям продиктованная, счастливо начинается»). Об каком-либо отношении ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА к трактату в этом заглавии действительно ничего не говорится. Но и своё собственное «авторство» ПАЧОЛИ обозначает весьма странным образом. А именно, он говорит, что книжка эта им particulariter dicatus, «по частям (или частично?) продиктована», и не более того. Это заставляет задуматься. Ведь ЛУКА ПАЧОЛИ в своих сочинениях вовсе не выглядит человеком, стремившимся беззастенчиво присваивать чужие результаты. Так в I разделе I главы Суммы он пишет:

10 ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 10 И поскольку мы будем следовать по большей части Л. ПИЗАНСКОМУ, я намерен заявить, что когда имеется какое-нибудь предложение без автора, оно этого Л. А когда других, кто был авторство приведено. Аналогичное уведомление имеется и в IV главе Божественной пропорции: Первым делом я замечу, что всякий раз, когда я буду писать «первое в первой», «четвёртое во второй», «десятое в пятой», «20 в 6» и так до пятнадцатой, под первой цифрой всегда следует понимать номер предложения, а под второй номер книги нашего философа ЕВКЛИДА, который всеми признаётся за главу данного факультета. Таким образом, говоря о пятом в первой, я говорю о пятом предложении его первой книги, и так же о других отдельных книгах, составляющих цельную книгу об элементах и первоначалах Арифметики и Геометрии. Но когда упоминается другое его сочинение или книга другого автора, это сочинение или этот автор называются по имени. Не следует забывать и о том, что в те периоды, когда ЛУКА жил в своём родном городе, он имел возможность общаться с ПЬЕРО напрямую. Естественно думать, что встречи двух математиков были достаточно частыми, а их общение содержательным. Темы книжки О пяти правильных телах почти наверняка обсуждались в этих беседах, а потому они оба могли в какой-то мере смотреть на неё как на свою, вне зависимости от того, кто придал ей окончательную форму. Мы ничего не знаем и о том, какое влияние на ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА и ЛУКУ ПАЧОЛИ оказали работы немецкого астронома и математика ИОГАННА МЮЛЛЕРА (), более известного под латинским именем РЕГИОМОНТАН. А ведь он много жил в Италии и умер в Риме, так что итальянские математики могли быть знакомы с ним и его рукописями. Среди его сочинений имелся трактат De quinque corporibus aequilateris, quae vulgo regularia nuncupantur, quae videlicet eorum locum impleant naturalem et quae non contra commentatorem Aristotelis Averroem («О пяти равносторонних телах, обычно называемых правильными, а именно, какие из них заполняют естественное место, а какие нет, против АВЕРРОЭСА, комментатора АРИСТОТЕЛЯ»). До наших дней он не дошёл, но РЕГИОМОНТАН даёт его обзор в другой своей работе. В этом трактате рассматривалось построение правильных тел, их преобразования друг в друга, вычислялись их объёмы. Содержалась в нём и встречающаяся у ПАЧОЛИ идея о том, что последовательным изменением правильных тел можно получать безграничное количество полуправильных. Далее, первая печатная книга по математике вышла в 1475 году. ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕ- СКА жил ещё в мире рукописей, а более молодой ЛУКА ПАЧОЛИ зрелые свои годы провёл уже в мире печатных книг. Рукопись могла быть переписана для собственного пользования кем-то ещё, но каждый раз в одном экземпляре. Её переписчик совершает богоугодное дело уже потому, что продлевает жизнь рукописи, не даёт ей погибнуть. То же и в случае, когда сохранившаяся рукопись превращается в печатную книгу. Теперь мы можем вернуться к вопросу о плагиате с оценкой, в большей мере соответствующей системе взглядов того времени. Похоже, что в ту эпоху, когда жили ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА и ЛУКА ПАЧОЛИ, вопрос об авторстве ещё попросту не стоял. (Средневековье, между прочим, вообще не знает авторства: можем ли мы сказать, кто был «автором» прекрасных готических соборов? Сама эта постановка вопроса очевидным образом бессмысленна. Вот и в Началах ЕВКЛИДА большая часть результатов была переписана из других математических книг, но мы этим почему-то не возмущаемся и ЕВКЛИДА в плагиате не обвиняем.) Самому ПЬЕРО была интересна математика, а не слава в грядущих веках. В преди-

11 ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 11 словии к своей латинской книжке он пишет, что она будет ему «залогом и памятником», но не у потомков вообще, а у его герцогского Высочества. А что касается авторства как указания на то, кто первый совершил такое-то открытие, то здесь важен момент онтологический. Математик открывает какие-то неизвестные доселе тела, а КОЛУМБ в это же самое время открывает новые страны. Но КОЛУМБ не является «автором» этих стран, и точно так же математик не является «автором» открытых им тел. И ведь когда КОЛУМБ организовывал свою экспедицию, его целью были сами новые страны, а не память потомков о том, что он их открыл. Лука Пачоли и формирование института экспертизы Обращаясь в послании О божественной пропорции к миланскому герцогу ЛОДОВИКО СФОРЦА, ЛУКА ПАЧОЛИ нигде не рекомендует себя так: «Я математик, потому что могу получать новые математические результаты». Нет, он говорит о себе совершенно иначе: «Я математик, потому что я знаю математику и могу ей научить других». Вот и ДАНТЕ в Божественной комедии называл АРИСТОТЕЛЯ «учителем тех, кто знает», и ЛУКА не зря эту цитату приводит. Для уяснения этого довода проведём следующее сравнение. Врач знает медицину и поэтому может лечить. Юрист знает право и поэтому может быть адвокатом. А математик знает математику и что дальше? Он может ей учить? Но ведь и врач, и юрист тоже могут учить своим наукам для чего в университете и существуют медицинский и юридический факультеты. Но кем может быть математик вне сферы обучения? Какое умение выделяет его среди прочих людей и делает кому-то нужным? Астроном умеет вычислять движения небесных светил и составлять гороскопы. Архитектор способен построить прекрасную виллу, военный строитель неприступную крепость. Художники создают прекрасные произведения, услаждающие взор. А математик какой от него может быть прок? Посмотрим, как на этот вопрос отвечает сам ЛУКА. Прежде всего, он настаивает на том, что математика в качестве самой точной науки является основанием и пробирным камнем для всех прочих наук. «В [нашем трактате] мы говорим о высоких и утончённых вещах, которые поистине служат испытанием и пробирным тиглем для всех изысканных наук и дисциплин: ведь из них проистекают все прочие спекулятивные действия, научные, практические и механические; и без предварительного ознакомления с ними человеку невозможно ни познавать, ни действовать, как это будет показано Как подтверждают АРИСТОТЕЛЬ и АВЕРРОЭС, наши математические науки являются самыми истинными и стоят на первом уровне строгости, а за ними идут естественные» (гл. I). От похвалы математике как таковой он переходит к похвалам математикам: «Благоразумным известна пословица: Aurum probatur igni et ingenium mathematicis. То есть золото проверяется огнём, и проницательность разума математическими дисциплинами. Это высказывание говорит вам, что добрый разум математиков наиболее открыт каждой науке, ведь они привычны к величайшей абстракции и тонкости, поскольку всегда рассматривали то, что находится вне чувственной материи. Как говорит тосканская поговорка, это те, кто расщепит волос на лету» (гл. II). Но само по себе «рассмотрение того, что находится вне чувственной материи» вряд ли способно заинтересовать властителей, к которым обращается ЛУКА. Поэтому он переходит от вещей идеальных к вещам реальным, и приводит доводы, согласно которым математика является необходимым основанием военного искусства и архитектуры:

12 ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 12 «О Вашем Герцогском Высочестве идёт и иная добрая слава, когда крепнет уверенность близких родственников и благодарных подданных в том, что в её высочайшем Владении они защищены от всех нападений От повседневного опыта Вашего Герцогского Высочества не скрыто, что оборона больших и малых республик, называемая также военным искусством, невозможна без знания Геометрии, Арифметики и Пропорций, каковые превосходно сочетаются с честью и пользой. И ни одно достойное занятие из тех, с которыми имеют дело инженеры и новые механики, так не ведёт к взятию [крепости] или же к долгой обороне, как те, в которых в былые времена упражнялся великий геометр АРХИМЕД из Сиракуз» (гл. II). «Они называют себя архитекторами, но я никогда не видел у них в руках выдающейся книги нашего достойнейшего архитектора и великого математика ВИТРУВИЯ, который составил трактат Об архитектуре с наилучшими описаниями всякого сооружения. И те, кому я дивлюсь, пишут на воде и строят на песке, наскоро растратив своё искусство: ведь они являются архитекторами лишь по имени, ибо не ведают разницы между точкой и линией и не знают различия между углами, без чего невозможно хорошо строить Однако есть и такие, кто восхищается нашими математическими дисциплинами, внедряя истинное руководство всеми постройками в согласии с сочинением вышеупомянутого ВИТРУВИЯ. Отклонение от него заметно, если посмотреть, каковы наши строения, как церковные, так и светские: какое искривлено, а какое перекошено» (гл. XLIV). Говоря нынешним языком, ЛУКА рекомендует себя герцогу в качестве эксперта, причём в вопросах не собственно математических (такой эксперт герцогу нисколько не нужен), но сугубо прикладных, имеющих самое прямое отношение к сохранению власти (военное дело) и процветанию (архитектура). Что же касается умения получать новые математические результаты, оно в эту эпоху ещё не рассматривалось как необходимое отличительное качество математика высокого класса, оставаясь случайным, а не сущностным признаком последнего. Литература ГЛУШКОВА Ф. Р., ГЛУШКОВ С. С. Геометрическая часть «Суммы» Пачоли. История и методология естественных наук, 29, 1982, с КОЛЛИНЗ Р., РЕСТИВО С. Пираты и политики в математике. Отечественные записки, 2001, 7. ОЛЬШКИ Л. История научной литературы на новых языках. В 3 т. М. Л.: ГТТИ, (Репринт: М.: МЦИФИ, 2000.) СОКОЛОВ Я. Лука Пачоли человек и мыслитель. В кн.: ПАЧОЛИ ЛУКА. Трактат о счетах и записях. М.: Статистика, ЮШКЕВИЧ А. П. История математики в средние века. М.: Физматгиз, ARRIGHI G. Piero della Francesca e Luca Pacioli. Rassegna della questione del plagio e nuove valutazioni. Atti della Fondazione Giorgio Ronchi, 23, 1968, p BIAGIOLI M. The social status of Italian mathematicians, History of Science, 27, 1989, p BERTATO F. M. A obra De Divina Proportione (1509) de Frà Luca Pacioli. Anais do V Seminário Nacional de História da Matemática, Rio Claro, BIGGIOGERO G. M. Luca Pacioli e la sua Divina proportione. Rendiconti dell"istituto lombardo di scienze e lettere, 94, 1960, p CASTRUCCI S. Luca Pacioli da l Borgo San Sepolcro. Alpignano: Tallone, DAVIS M. D. Piero della Francesca s mathematical treatises: The «Trattato d abaco» and «Libellus de quinque corporibus regularibus». Ravenna: Longo Editore, FIELD J. V. Rediscovering the Archimedean polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro and Johannes Kepler. Archive for History of Exact Sciences, 50, 1997, p

13 ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 13 HERZ-FISCHLER R. A mathematical history of division in extreme and mean ratio. Waterloo: Wilfrid Laurier Univ. Press, 1987 (2 d ed. NY, Dover, 1998). LUCAS DE BURGO. Summa de Arithmetica, Geometria, Proportione & Proportionalita. Venetia: Paganino de Paganinis, LUCAS DE BURGO. Divina Proportione. Venetia: Paganino de Paganinis, MANCINI G. L opera De corporibus regularibus di Pietro Franceschi detto Della Francesca usurpata da fra Luca Pacioli. Accademia dei Lincei, MORISON S. Fra Luca Pacioli of Borgo San Sepolcro. New York, PICUTTI E. Sui plagi matematici di frate Luca Pacioli. La Scienze, 246, 1989, p PIERO DELLA FRANCESCA. Libellus de quinque corporibus regularibus. Eds. M. D. Emiliani e. a. Florence: Giunti, PITTARELLI G. Luca Pacioli usurpò per se stesso qualche libro di Piero de Franceschi? Atti IV Congresso internazionale dei matematici, Roma, 6 11 aprile 1908, III. Rome, 1909, p PORTOGHESI P. Luca Pacioli e la Divina Proportione. In: Civiltà delle machine, 1957, p REGIOMONTANUS. Commensorator. Ed. Blaschke W., Schoppe G. Wiesbaden: Verlag der Akademie der Wissenschaften und der Literatur in Mainz, RICCI I. D. Luca Pacioli, l uomo e lo scienziato. Sansepolcro, ROSE P. L. The Italian renaissance of mathematics. Geneva: Librairie Droz, SPEZIALI P. Luca Pacioli et son oeuvre. Sciences of the Renaissance, Paris, 1973, p TAYLOR R. E. No royal road: Luca Pacioli and his times. Chapel Hill: Univ. of North Carolina Press, WILLIAMS K. Plagiary in the Renaissance (Luca Pacioli and Piero della Francesca). Mathematical Intelligencer, 24, 2002, p

Золотое сечение в античной математике А. И. ЩЕТНИКОВ 1. Постановка проблемы. Не будет преувеличением сказать, что без обсуждения вопроса о золотом сечении не обходится ни одна публикация, посвящённая взаимоотношениям

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты: Содержание программы 1. Числа, корни и степени. Числовые последовательности Натуральные числа. Простые

Рабочая программа среднего (полного) общего образования по математике (геометрии) в МБОУ СОШ 30 г. Пензы (10 класс) Пояснительная записка Статус документа Рабочая программа среднего (полного) общего образования

Программа вступительного экзамена по математике Программа составлена на основе Федерального компонента государственного стандарта основного общего и среднего (полного) общего образования (приказ Минобразования

Рабочая программа по математике 5-6 класс ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ Рациональные числа Ученик научится: В 5-6 КЛАССАХ 1) понимать особенности десятичной системы счисления; 2) владеть понятиями,

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Настоящая программа по геометрии для 0 класса составлена на основе Федерального компонента Государственного стандарта среднего общего образования (приказ МОиН РФ от 05.03.2004г. 089),

Минобрнауки России Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сыктывкарский государственный университет имени Питирима Сорокина» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ

Приложение к основной образовательной программе среднего общего образования МБОУ «Сергачская СОШ 1» утвержденной приказом директора 27.08.2015 г. 64-о Рабочая программа учебного предмета «Геометрия» 10-11

Теорема Пифагора Формулировка Теорема Пифагора утверждает, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов. c 2 = a 2 + b 2 Другими словами, площадь квадрата, построенного

Федеральное государственное автономное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа вступительного испытания по математике

МИНОБРНАУКИ РОССИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Новосибирский государственный университет экономики и управления «НИНХ» (ФГБОУ ВО «НГУЭУ», НГУЭУ)

ЧУ ООШ «Венда» РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Геометрия 0 класс - - Пояснительная записка Рабочая программа составлена на основе: Федерального компонента государственного стандарта общего образования, примерной программы

Спецификация к семестровой работе по математике в 10 классе Множества, операции над множествами Числовые множества Функция: Нахождение области определения Нахождение множества значений Исследование на

Программа к вступительному испытанию по общеобразовательному предмету «Математика» при поступлении в Сыктывкарский лесной институт в 2016 году Программа предназначена для подготовки к массовой письменной

Муниципальное общеобразовательное автономное учреждение г. Бузулука «Средняя общеобразовательная школа 8» РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебному предмету: «Геометрия» на 206-207 учебный год Класс: 0- Количество

Косинов Н.В. ЗОЛОТАЯ ПРОПОРЦИЯ, ЗОЛОТЫЕ КОНСТАНТЫ И ЗОЛОТЫЕ ТЕОРЕМЫ Аннотация Выявлено большое семейство чисел, которые имеют свойства, присущие золотой пропорции (Ф=1,618). Эти числа являются константами

Подготовила: Деменковец Анастасия Ученица 8 класса Б Научный руководитель: Конева Наталья Михайловна Гимназия Лаборатория Салахова Сургут, 2014 Цель: Доказать, что в архитектурных объектах присутствуют

Согласовано зам. директора по УР Г.И. Беликова Утверждаю директор МКОУ «Борятинская СОШ» Е.А.Мартынова 20 г. муниципальное казенное образовательное учреждение «Борятинская средняя общеобразовательная школа»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Лицей» УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ГЕОМЕТРИИ 10 11 класс уровень среднего общего образования ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Учебная программа по геометрии ориентирована

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Институт гражданской защиты Кафедра общеинженерных дисциплин

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 105 имени М.И.Рунт городского округа Самара РАССМОТРЕНО СОГЛАСОВАНО УТВЕРЖДАЮ на заседании методического Заместитель

Лекция Почему мы не можем обойтись целыми и рациональными числами? Потому что в самых естественных ситуациях нам встречаются числа, не являющиеся ни целыми, ни рациональными. Рассмотрим единичный квадрат.

МБОУ «Орловская СОШ» Рассмотрено Согласовано Утверждаю на заседании МО учителей Заместитель директора по УВР Директор МБОУ «Орловская СОШ» математики и естественных предметов /Ефанова И.А../ /Ермолова

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Нормативная база преподавания предмета Рабочая программа по геометрии для 7-9 класса составлена на основании следующих нормативноправовых документов: 1. Федерального компонента государственного

Планируемые результаты освоения учебного предмета, курса Арифметика Натуральные числа. Дроби 1) понимать особенности десятичной системы счисления; 2) понимать и использовать термины и символы, связанные

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО ГЕОМЕТРИИ 10-11 КЛАССЫ Составитель: Т.А. Бурмистрова Пояснительная записка Данная рабочая программа составлена на основе Примерной программы среднего (полного) общего образования по

Аннотация к рабочей программе по «Геометрии» 10-11 класс Рабочая программа по математике составлена на основе следующих нормативных документов: 1. Образовательная программа общеобразовательного учреждения

Великий мыслитель Лосев А. Ф. презентация книг русского философа к 120 летию со дня рождения Все представленные на выставке книги находятся в фонде читального зала СЭЛ (ауд. В-303), где можно более подробно

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ ФГБОУ ВПО «ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Персиановский

Пояснительная записка. Рабочая программа по геометрии 11 класса составлена на основе федерального компонента государственного стандарта основного общего образования, Программы по геометрии к учебнику для

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ТЕХНИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (на базе

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ДОНЕЦКИЙ РЕСПУБЛИКАНСКИЙ ИНСТИТУТ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ» ОТДЕЛ МАТЕМАТИКИ О требованиях к

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ 1. Числовые множества. Арифметические действия над числами. Натуральные числа (N).

И.М. Смирнова, В.А. Смирнов ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ (ГЕОМЕТРИЯ) Вписанные и описанные фигуры в пространстве Москва 008 ВВЕДЕНИЕ Как подготовиться к экзаменам по геометрии и научиться решать стереометрические задачи

1 МАГИЯ ЧИСЕЛ В НАУКЕ И ПРИРОДЕ Лоскович М.В., Натяганов В.Л., Слепова Т.В. Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Биологический, механико-математический факультеты, Россия, 119899,

Пояснительная записка к рабочей программе по геометрии в 0 классе Всего 2 часа в неделю 72 часа в год. Рабочая программа составлена на основе следующих документов: o Федерального компонента государственного

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Костромской государственный университет имени Н. А. Некрасова Т. Н. Матыцина ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ Практикум Кострома

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 9 Принято Утверждаю решением педагогического совета Директор МБОУ средней от 29 августа 2012 года, общеобразовательной

Учебного предмета класс (параллель) Пояснительная записка к Рабочей программе геометрия (базовый уровень) 10 Б на 2013-2014учебный год Рабочая программа по геометрии для 10 класса составлена на основе

ИВАНОВА ИННА ВАЛЕНТИНОВНА E-mail: [email protected] Skype: inna-iva68 Время для связи: четверг 16.50. 19.00. Геометрия 10 класс Учебник: Геометрия 10-11, авторы Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев

Пояснительная записка Рабочая программа составлена на основе Федерального компонента Государственного образовательного стандарта Среднего (полного) общего образования по математике и Примерной программы

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Школа 11 Зеленодольского муниципального района Республики Татарстан» Исследовательская работа на тему: Золотое сечение Выполнила: Ахметова А.М. Руководитель:

Приложение 2.5.2. Примерное планирование курса «Алгебра и начала математического анализа» Учебник. 1. А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень). 10 класс

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 3 города Пудожа Рассмотрено на заседании МО математики и информатики Протокол 1 от 29.08.2016 Руководитель МО Купцова

Сергиенко П.Я. НАЧАЛА МАТЕМАТИЗАЦИИ ГАРМОНИИ. ЗАДАЧА (ПРЕДЛОЖЕНИЕ II.11) ЕВКЛИДА И АЛГОРИТМ ЕЕ РЕШЕНИЯ Выставить на обозрение свой алгоритм решения озаглавленной задачи меня позвали публикации: С.А.Ясинского

АДМИНИСТРАЦИЯ ГОРОДА НИЖНЕГО НОВГОРОДА Муниципальное бюджетное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 100 с углубленным изучением отдельных предметов Утверждаю Директор школы 100

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа по «Геометрии» составлена в соответствии с Федеральным компонентом государственного образовательного стандарта общего образования (2004 г.). Программа составлена

Рабочая программа к учебнику «Геометрия 10-11», Атанасян Л.С. и др., 10 «А» класс (базовый уровень), 2 часа в неделю ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа составлена на основе федерального компонента

Пояснительная записка. Данная рабочая программа по геометрии для 11 социально-гуманитарного класса составлена в соответствии с федеральным компонентом государственного образовательного стандарта среднего

Рабочая программа по геометрии 10 класс Пояснительная записка Статус документа Рабочая программа по геометрии 10 класса составлена на основе федерального компонента государственного стандарта основного

Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных дробей; с требуемой точностью округлять данные числа и результаты

ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ИНСТИТУТ ГОСУДАРСТВЕННОГО АДМИНИСТРИРОВАНИЯ» Утверждаю Ректор ЧУ ВО «ИГА» А.В. Тараканов «12» 11 20_15_г. Программа подготовки к вступительным испытаниям по математике

Пояснительная записка Рабочая программа составлена на основе федерального компонента государственного стандарта общего образования, примерной программы по математике основного общего образования, авторской

ГЕОМЕТРИЯ 11 КЛАСС ЭКСТЕРНАТ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО ГЕОМЕТРИИ 11 КЛАСС ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа разработана на основе федерального компонента государственного стандарта среднего (полного)

1 Аннотация к рабочей программе по предмету «Геометрия» 10-11 Данная рабочая программа по геометрии для 10-11 классов составлена на основе: Федерального компонента Государственного образовательного стандарта

Содержание: 1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА. 2. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ.. 3. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ 4. КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ. 5. ПЕРЕЧЕНЬ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО «СОЧИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» «Университетский экономико-технологический колледж» Математика Программа вступительного испытания

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение «Усишинская СОШ 2» Календарно-тематическое планирование по предмету геометрия класс Базовый уровень 68 часов. Составитель: учитель математики Гаджиев

Предмет математика модуль «алгебра», 7 класс Учитель Анастасия Васильевна Рыбалкина Что предстоит «узнать» = изучить, освоить на уроках математике модуль «алгебра» в 7 классе. 1) ТЕМЫ (по программе) I.

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение «Вечерняя (сменная) общеобразовательная школа 2» при ФКУ ИК-4 Тема групповой консультации: «Решение задач по теме «Объемы многогранников» Выполнила