Метод интервалов: решение простейших строгих неравенств. Решение неравенств. Доступно о том, как решать неравенства

Всякое неравенство, в состав которого входит функция, стоящая под корнем, называется иррациональным . Существует два типа таких неравенств:

В первом случае корень меньше функции g (x ), во втором - больше. Если g (x ) - константа , неравенство резко упрощается. Обратите внимание: внешне эти неравенства очень похожи, но схемы решения у них принципиально различаются.

Сегодня научимся решать иррациональные неравенства первого типа - они самые простые и понятные. Знак неравенства может быть строгим или нестрогим. Для них верно следующее утверждение:

Теорема. Всякое иррациональное неравенство вида

Равносильно системе неравенств:

Неслабо? Давайте рассмотрим, откуда берется такая система:

1. f (x ) ≤ g 2 (x ) - тут все понятно. Это исходное неравенство, возведенное в квадрат;
2. f (x ) ≥ 0 - это ОДЗ корня. Напомню: арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа;
3. g (x ) ≥ 0 - это область значений корня. Возводя неравенство в квадрат, мы сжигаем минусы. В результате могут возникнуть лишние корни. Неравенство g (x ) ≥ 0 отсекает их.

Многие ученики «зацикливаются» на первом неравенстве системы: f (x ) ≤ g 2 (x ) - и напрочь забывают два других. Результат предсказуем: неправильное решение, потерянные баллы.

Поскольку иррациональные неравенства - достаточно сложная тема, разберем сразу 4 примера. От элементарных до действительно сложных. Все задачи взяты из вступительных экзаменов МГУ им. М. В. Ломоносова.

Примеры решения задач

Задача. Решите неравенство:

Перед нами классическое иррациональное неравенство : f (x ) = 2x + 3; g (x ) = 2 - константа. Имеем:

Из трех неравенств к концу решения осталось только два. Потому что неравенство 2 ≥ 0 выполняется всегда. Пересечем оставшиеся неравенства:

Итак, x ∈ [−1,5; 0,5]. Все точки закрашены, поскольку неравенства нестрогие .

Задача. Решите неравенство:

Применяем теорему:

Решаем первое неравенство. Для этого раскроем квадрат разности. Имеем:

2x 2 − 18x + 16 < (x − 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16 < x 2 − 8x + 16:
x 2 − 10x < 0;
x (x − 10) < 0;
x ∈ (0; 10).

Теперь решим второе неравенство. Там тоже квадратный трехчлен :

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪}