Аппроксимация экспериментальных данных в программе Microsoft Excel
(Обратите внимание на дополнительный раздел от 04.06.2017 в конце статьи.)
Учет и контроль! Те, кому за 40 должны хорошо помнить этот лозунг из эпохи построения социализма и коммунизма в нашей стране.
Но без хорошо налаженного учета невозможно эффективное функционирование ни страны, ни области, ни предприятия, ни домашнего хозяйства при любой общественно-экономической формации общества! Для составления прогнозов и планов деятельности и развития необходимы исходные данные. Где их брать? Только один достоверный источник – это ваши статистические учетные данные предыдущих периодов времени.
Учитывать результаты своей деятельности, собирать и записывать информацию, обрабатывать и анализировать данные, применять результаты анализа для принятия правильных решений в будущем должен, в моем понимании, каждый здравомыслящий человек. Это есть ничто иное, как накопление и рациональное использование своего жизненного опыта. Если не вести учет важных данных, то вы через определенный период времени их забудете и, начав заниматься этими вопросами вновь, вы опять наделаете те же ошибки, что делали, когда впервые этим занимались.
«Мы, помню, 5 лет назад изготавливали до 1000 штук таких изделий в месяц, а сейчас и 700 еле-еле собираем!». Открываем статистику и видим, что 5 лет назад и 500 штук не изготавливали…
«Во сколько обходится километр пробега твоего автомобиля с учетом всех затрат?» Открываем статистику – 6 руб./км. Поездка на работу – 107 рублей. Дешевле, чем на такси (180 рублей) более чем в полтора раза. А бывали времена, когда на такси было дешевле…
«Сколько времени требуется для изготовления металлоконструкций уголковой башни связи высотой 50 м?» Открываем статистику – и через 5 минут готов ответ…
«Сколько будет стоить ремонт комнаты в квартире?» Поднимаем старые записи, делаем поправку на инфляцию за прошедшие годы, учитываем, что в прошлый раз купили материалы на 10% дешевле рыночной цены и – ориентировочную стоимость мы уже знаем…
Ведя учет своей профессиональной деятельности, вы всегда будете готовы ответить на вопрос начальника: «Когда!!!???». Ведя учет домашнего хозяйства, легче спланировать расходы на крупные покупки, отдых и прочие расходы в будущем, приняв соответствующие меры по дополнительному заработку или по сокращению необязательных расходов сегодня.
В этой статье я на простом примере покажу, как можно обрабатывать собранные статистические данные в Excel для возможности дальнейшего использования при прогнозировании будущих периодов.
Аппроксимация в Excel статистических данных аналитической функцией.
Производственный участок изготавливает строительные металлоконструкции из листового и профильного металлопроката. Участок работает стабильно, заказы однотипные, численность рабочих колеблется незначительно. Есть данные о выпуске продукции за предыдущие 12 месяцев и о количестве переработанного в эти периоды времени металлопроката по группам: листы, двутавры, швеллеры, уголки, трубы круглые, профили прямоугольного сечения, круглый прокат. После предварительного анализа исходных данных возникло предположение, что суммарный месячный выпуск металлоконструкций существенно зависит от количества уголков в заказах. Проверим это предположение.
Прежде всего, несколько слов об аппроксимации. Мы будем искать закон – аналитическую функцию, то есть функцию, заданную уравнением, которое лучше других описывает зависимость общего выпуска металлоконструкций от количества уголкового проката в выполненных заказах. Это и есть аппроксимация, а найденное уравнение называется аппроксимирующей функцией для исходной функции, заданной в виде таблицы.
1. Включаем Excel и помещаем на лист таблицу с данными статистики.
2. Далее строим и форматируем точечную диаграмму, в которой по оси X задаем значения аргумента – количество переработанных уголков в тоннах. По оси Y откладываем значения исходной функции – общий выпуск металлоконструкций в месяц, заданные таблицей.
3. «Наводим» мышь на любую из точек на графике и щелчком правой кнопки вызываем контекстное меню (как говорит один мой хороший товарищ — работая в незнакомой программе, когда не знаешь, что делать, чаще щелкай правой кнопкой мыши…). В выпавшем меню выбираем «Добавить линию тренда…».
4. В появившемся окне «Линия тренда» на вкладке «Тип» выбираем «Линейная».
6. На графике появилась прямая линия, аппроксимирующая нашу табличную зависимость.
Мы видим кроме самой линии уравнение этой линии и, главное, мы видим значение параметра R 2 – величины достоверности аппроксимации! Чем ближе его значение к 1, тем наиболее точно выбранная функция аппроксимирует табличные данные!
7. Строим линии тренда, используя степенную, логарифмическую, экспоненциальную и полиномиальную аппроксимации по аналогии с тем, как мы строили линейную линию тренда.
Лучше всех из выбранных функций аппроксимирует наши данные полином второй степени, у него максимальный коэффициент достоверности R 2 .
Однако хочу вас предостеречь! Если вы возьмете полиномы более высоких степеней, то, возможно, получите еще лучшие результаты, но кривые будут иметь замысловатый вид…. Здесь важно понимать, что мы ищем функцию, которая имеет физический смысл. Что это означает? Это означает, что нам нужна аппроксимирующая функция, которая будет выдавать адекватные результаты не только внутри рассматриваемого диапазона значений X, но и за его пределами, то есть ответит на вопрос: «Какой будет выпуск металлоконструкций при количестве переработанных за месяц уголков меньше 45 и больше 168 тонн!» Поэтому я не рекомендую увлекаться полиномами высоких степеней, да и параболу (полином второй степени) выбирать осторожно!
Итак, нам необходимо выбрать функцию, которая не только хорошо интерполирует табличные данные в пределах диапазона значений X=45…168, но и допускает адекватную экстраполяцию за пределами этого диапазона. Я выбираю в данном случае логарифмическую функцию, хотя можно выбрать и линейную, как наиболее простую. В рассматриваемом примере при выборе линейной аппроксимации в excel ошибки будут больше, чем при выборе логарифмической, но не на много.
8. Удаляем все линии тренда с поля диаграммы, кроме логарифмической функции. Для этого щелкаем правой кнопкой мыши по ненужным линиям и в выпавшем контекстном меню выбираем «Очистить».
9. В завершении добавим к точкам табличных данных планки погрешностей. Для этого правой кнопкой мыши щелкаем на любой из точек на графике и в контекстном меню выбираем «Формат рядов данных…» и настраиваем данные на вкладке «Y-погрешности» так, как на рисунке ниже.
10. Затем щелкаем по любой из линий диапазонов погрешностей правой кнопкой мыши, выбираем в контекстном меню «Формат полос погрешностей…» и в окне «Формат планок погрешностей» на вкладке «Вид» настраиваем цвет и толщину линий.
Аналогичным образом форматируются любые другие объекты диаграммы в Excel !
Окончательный результат диаграммы представлен на следующем снимке экрана.
Итоги.
Результатом всех предыдущих действий стала полученная формула аппроксимирующей функции y=-172,01*ln (x)+1188,2. Зная ее, и количество уголков в месячном наборе работ, можно с высокой степенью вероятности (±4% — смотри планки погрешностей) спрогнозировать общий выпуск металлоконструкций за месяц! Например, если в плане на месяц 140 тонн уголков, то общий выпуск, скорее всего, при прочих равных составит 338±14 тонн.
Для повышения достоверности аппроксимации статистических данных должно быть много. Двенадцать пар значений – это маловато.
Из практики скажу, что хорошим результатом следует считать нахождение аппроксимирующей функции с коэффициентом достоверности R 2 >0,87. Отличный результат – при R 2 >0,94.
На практике бывает трудно выделить один самый главный определяющий фактор (в нашем примере – масса переработанных за месяц уголков), но если постараться, то в каждой конкретной задаче его всегда можно найти! Конечно, общий выпуск продукции за месяц реально зависит от сотни факторов, для учета которых необходимы существенные трудозатраты нормировщиков и других специалистов. Только результат все равно будет приблизительным! Так стоит ли нести затраты, если есть гораздо более дешевое математическое моделирование!
В этой статье я лишь прикоснулся к верхушке айсберга под названием сбор, обработка и практическое использование статистических данных. О том удалось, или нет, мне расшевелить ваш интерес к этой теме, надеюсь узнать из комментариев и рейтинга статьи в поисковиках.
Затронутый вопрос аппроксимации функции одной переменной имеет широкое практическое применение в разных сферах жизни. Но гораздо большее применение имеет решение задачи аппроксимации функции нескольких независимых переменных…. Об этом и не только читайте в следующих статьях на блоге.
Подписывайтесь на анонсы статей в окне, расположенном в конце каждой статьи или в окне вверху страницы.
Не забывайте подтверждать подписку кликом по ссылке в письме, которое придет к вам на указанную почту (может прийти в папку « Спам» )!!!
С интересом прочту Ваши комментарии, уважаемые читатели! Пишите!
P.S. (04.06.2017)
Высокоточная красивая замена табличных данных простым уравнением.
Вас не устраивают полученные точность аппроксимации (R 2 <0,95) или вид и набор функций, предлагаемые MS Excel?
Размеры выражения и форма линии аппроксимирующего полинома высокой степени не радует глаз?
Обращайтесь через страницу « » для получения более точного и компактного результата аппроксимации ваших табличных данных и для того, чтобы узнать простую методику решения задач высокоточной аппроксимации функцией одной переменной.
При использовании предлагаемого алгоритма действий найдена весьма компактная функция, обеспечивающая высочайшую точность аппроксимации: R 2 =0,9963!!!
Для наглядной иллюстрации тенденций изменения цены применяется линия тренда. Элемент технического анализа представляет собой геометрическое изображение средних значений анализируемого показателя.
Рассмотрим, как добавить линию тренда на график в Excel.
Добавление линии тренда на график
Для примера возьмем средние цены на нефть с 2000 года из открытых источников. Данные для анализа внесем в таблицу:
Линия тренда в Excel – это график аппроксимирующей функции. Для чего он нужен – для составления прогнозов на основе статистических данных. С этой целью необходимо продлить линию и определить ее значения.
Если R2 = 1, то ошибка аппроксимации равняется нулю. В нашем примере выбор линейной аппроксимации дал низкую достоверность и плохой результат. Прогноз будет неточным.
Внимание!!! Линию тренда нельзя добавить следующим типам графиков и диаграмм:
- лепестковый;
- круговой;
- поверхностный;
- кольцевой;
- объемный;
- с накоплением.
Уравнение линии тренда в Excel
В предложенном выше примере была выбрана линейная аппроксимация только для иллюстрации алгоритма. Как показала величина достоверности, выбор был не совсем удачным.
Следует выбирать тот тип отображения, который наиболее точно проиллюстрирует тенденцию изменений вводимых пользователем данных. Разберемся с вариантами.
Линейная аппроксимация
Ее геометрическое изображение – прямая. Следовательно, линейная аппроксимация применяется для иллюстрации показателя, который растет или уменьшается с постоянной скоростью.
Рассмотрим условное количество заключенных менеджером контрактов на протяжении 10 месяцев:
На основании данных в таблице Excel построим точечную диаграмму (она поможет проиллюстрировать линейный тип):
Выделяем диаграмму – «добавить линию тренда». В параметрах выбираем линейный тип. Добавляем величину достоверности аппроксимации и уравнение линии тренда в Excel (достаточно просто поставить галочки внизу окна «Параметры»).
Получаем результат:
Обратите внимание! При линейном типе аппроксимации точки данных расположены максимально близко к прямой. Данный вид использует следующее уравнение:
y = 4,503x + 6,1333
- где 4,503 – показатель наклона;
- 6,1333 – смещения;
- y – последовательность значений,
- х – номер периода.
Прямая линия на графике отображает стабильный рост качества работы менеджера. Величина достоверности аппроксимации равняется 0,9929, что указывает на хорошее совпадение расчетной прямой с исходными данными. Прогнозы должны получиться точными.
Чтобы спрогнозировать количество заключенных контрактов, например, в 11 периоде, нужно подставить в уравнение число 11 вместо х. В ходе расчетов узнаем, что в 11 периоде этот менеджер заключит 55-56 контрактов.
Экспоненциальная линия тренда
Данный тип будет полезен, если вводимые значения меняются с непрерывно возрастающей скоростью. Экспоненциальная аппроксимация не применяется при наличии нулевых или отрицательных характеристик.
Построим экспоненциальную линию тренда в Excel. Возьмем для примера условные значения полезного отпуска электроэнергии в регионе Х:
Строим график. Добавляем экспоненциальную линию.
Уравнение имеет следующий вид:
y = 7,6403е^-0,084x
- где 7,6403 и -0,084 – константы;
- е – основание натурального логарифма.
Показатель величины достоверности аппроксимации составил 0,938 – кривая соответствует данным, ошибка минимальна, прогнозы будут точными.
Логарифмическая линия тренда в Excel
Используется при следующих изменениях показателя: сначала быстрый рост или убывание, потом – относительная стабильность. Оптимизированная кривая хорошо адаптируется к подобному «поведению» величины. Логарифмический тренд подходит для прогнозирования продаж нового товара, который только вводится на рынок.
На начальном этапе задача производителя – увеличение клиентской базы. Когда у товара будет свой покупатель, его нужно удержать, обслужить.
Построим график и добавим логарифмическую линию тренда для прогноза продаж условного продукта:
R2 близок по значению к 1 (0,9633), что указывает на минимальную ошибку аппроксимации. Спрогнозируем объемы продаж в последующие периоды. Для этого нужно в уравнение вместо х подставлять номер периода.
Например:
| Период | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| Прогноз | 1005,4 | 1024,18 | 1041,74 | 1058,24 | 1073,8 | 1088,51 | 1102,47 |
Для расчета прогнозных цифр использовалась формула вида: =272,14*LN(B18)+287,21. Где В18 – номер периода.
Полиномиальная линия тренда в Excel
Данной кривой свойственны переменные возрастание и убывание. Для полиномов (многочленов) определяется степень (по количеству максимальных и минимальных величин). К примеру, один экстремум (минимум и максимум) – это вторая степень, два экстремума – третья степень, три – четвертая.
Полиномиальный тренд в Excel применяется для анализа большого набора данных о нестабильной величине. Посмотрим на примере первого набора значений (цены на нефть).
Чтобы получить такую величину достоверности аппроксимации (0,9256), пришлось поставить 6 степень.
Зато такой тренд позволяет составлять более-менее точные прогнозы.
Решение задач аппроксимации средствами Excel
доктор физ.– мат. наук, профессор Гавриленко В.В. ассистент Парохненко Л.М.
(Национальный транспортный университет)
Теоретическая справка. На практике при моделировании различных про-
цессов, в частности, экономических, физических, технических, социальных,
широко используются те или иные способы вычисления приближенных значе-
ний функций по известным их значениям в некоторых фиксированных точках.
Такого рода задачи приближения функций часто возникают:
∙ при построении приближенных формул для вычисления значений характер-
ных величин исследуемого процесса по данным таблиц, полученным в ре-
зультате физического или вычислительного эксперимента;
∙ при численном интегрировании, численном дифференцировании, числен-
ном решении дифференциальных уравнений и т.д.;
∙ при необходимости вычисления значений функций в промежуточных точ-
ках рассматриваемого интервала;
∙ при определении значений характерных величин процесса за пределами рас-
сматриваемого интервала, в частности, при необходимости заглянуть в
“ прошлое”), то есть при определении значений показателей процесса до на-
чала наблюдения;
∙ в прогнозировании, то есть при получении предварительных оценок буду-
щих значений интересуемых показателей процесса (возможность заглянуть
в “ будущее”).
Если для моделирования некоторого процесса, заданного таблицей, по-
строить приближенно описывающую данный процесс функцию на основе ме-
тода наименьших квадратов, то она называется аппроксимирующей функцией
(регрессией), а сама задача построения аппроксимирующих функций называет-
ся задачей аппроксимации.
В данной статье рассмотрены возможности пакета Excel при реше-
нии задач аппроксимации, а именно, приведены методы и приемы построения
(создания) регрессий для таблично заданных функций, что является основой регрессионного анализа.
В Excel для построения регрессий имеются такие возможности, как:
1) добавление выбранных регрессий (линий тренда) в диаграмму, построенную на основе таблицы данных для исследуемой характеристики процесса (этим инструментом можно воспользоваться лишь при наличии построенной диа-
2) использование встроенных статистических функций рабочего листа Excel ,
позволяющих получать регрессии (линии тренда) на основе таблицы исход-
ных данных (использование данного инструмента предварительно не связы-
вается с наличием соответствующей диаграммы).
Добавление линий тренда в диаграмму
Для таблицы данных, описывающих некоторый процесс и представленных диаграммой, в Excel имеется эффективный инструмент регрессионного анали-
за, позволяющий:
∙ строить на основе метода наименьших квадратов и добавлять в диаграмму пять типов регрессий (линий тренда), которые с той или иной степенью точно-
сти моделируют исследуемый процесс;
∙ добавлять к диаграмме уравнение построенной регрессии;
∙ определять степень соответствия выбранной регрессии отображаемым на диаграмме данным.
Построенные модели процесса – линии тренда (trendlines) показывают
тенденцию изменения данных, дают возможность определять значения иссле-
дуемой характеристики в промежуточных точках, прогнозировать поведение данного процесса в будущем (задача экстраполяции), а также заглянуть в его прошлое.
На основе данных диаграммы Excel позволяет получать такие типы регрес-
сий или линий тренда, как линейный, полиномиальный, логарифмический, сте-
пенной, экспоненциальный, которые задаются уравнением y = y(x) , где x – неза-
висимая переменная, которая часто принимает значения последовательности натурального ряда чисел (1; 2; 3; …) и производит, например, отсчет времени протекания исследуемого процесса.
1. Линейная регрессия хороша при моделировании характеристик, значения которых увеличиваются или убывают с постоянной скоростью. Это наиболее простая в построении, но наименее точная модель исследуемого процесса.
y = m x + b ,
где m – угол наклона линейной регрессии к оси абсцисс; b – координата точки пересечения линейной регрессии с осью ординат.
2. Полиномиальная линия тренда полезна для описания характеристик,
имеющих несколько ярко выраженных экстремумов (максимумов и миниму-
мов). Выбор степени полиномиальной линии тренда (полинома) определяется количеством экстремумов исследуемой характеристики. Так, полином второй степени может хорошо описать характеристику, имеющую только один макси-
мум или минимум; полином третьей степени – не более двух экстремумов; по-
лином четвертой степени – не более трех экстремумов и т.д.
Строится в соответствии с уравнением
y = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + c4 x4 + c5 x5 + c6 x6 ,
где коэффициенты c 0 , c 1 , c 2 ,...c 6 – константы.
3. Логарифмическая линия тренда с успехом применяется при моделирова-
нии характеристик, значения которых вначале быстро растут или убывают по величине, а затем постепенно стабилизируются.
Строится в соответствии с уравнением
y = c× ln(x)+ b,
4. Степенная линия тренда дает хорошие результаты, если значения иссле-
дуемой зависимости характеризуются постоянным изменением скорости роста.
Примером такой зависимости может служить график равноускоренного движе-
ния автомобиля. При наличии в данных нулевых или отрицательных значений использовать степенную линию тренда нельзя.
Строится в соответствии с уравнением
y = c× xb ,
где коэффициенты b, с – константы.
5. Экспоненциальная линия тренда следует использовать в том случае, если скорость изменения данных непрерывно возрастает. Для данных, содержащих нулевые или отрицательные значения, этот вид приближения неприменим.
Строится в соответствии с уравнением
y = c× eb × x ,
где коэффициенты b, с – константы.
При подборе линии тренда Excel автоматически рассчитывает значение величиныR 2 , которая характеризует достоверность аппроксимации: чем ближе значениеR 2 к единице, тем надежнее линия тренда аппроксимирует исследуе-
мый процесс. При необходимости значение R 2 всегда можно отобразить на
диаграмме.
Определяется по формуле
R 2 = 1- | Σ1 = ∑(yj − Yj )2 | S2 =∑Y j 2 - | × (∑Yj )2 | ||||||
Для добавления линии тренда к ряду данных следует:
1. Активизировать построенную на основе ряда данных диаграмму, т.е. щелк-
нуть в пределах области диаграммы. В главном меню появится пункт Диа-
2. После щелчка на этом пункте на экране появится меню, в котором следует выбрать команду Добавить линию тренда.
затель мыши к графику, построенного на ряде данных, и щелкнуть правой кла-
вишей мыши, и в появившемся контекстном меню выбрать команду Добавить
линию тренда. На экране появится диалоговое окно Линия тренда с раскры-
той вкладкой Тип (рис.1).
Рис.1. Вкладка Тип диалогового окна Формат линии тренда
3. Выбрать на вкладке Тип необходимый тип линии тренда (по умолчанию выбирается тип Линейный). Для типа Полиномиальная в поле Степень сле-
дует задать степень выбранного полинома.
4. В поле Построен на ряде перечислены все ряды данных рассматриваемой диаграммы. Для добавления линии тренда к конкретному ряду данных следует в поле Построен на ряде выбрать его имя.
5. При необходимости, перейдя на вкладку Параметры (рис.2), можно для ли-
нии тренда задать следующие параметры:
∙ Изменить название линии тренда в поле Название аппроксимирующей
(сглаженной) кривой;
∙ Задать количество периодов (вперед или назад) для прогноза в поле Про-
∙ Вывести в область диаграммы уравнение линии тренда, для чего следует ус-
тановить флажок для опции «показать уравнение на диаграмме».
∙ Вывести в область диаграммы значение достоверности аппроксимации R 2 ,
для чего следует установить флажок для опции «поместить на диаграмму ве-
личину достоверности аппроксимации (R^2) ».
∙ Задать точку пересечения линии тренда с осью Y, для чего следует устано-
вить флажок для опции «пересечение кривой с осью Y в точке: ». 6. Нажать клавишуOK .
Рис.2. Вкладка Параметры диалогового окна Линия тренда
Для редактирования уже построенной линии тренда следует:
1. Щелкнуть левой клавишей мыши по той линии тренда, которую требуется
изменить.
2. Нажать в главном меню клавишу Формат, а появившемся контекстном ме-
ню выбрать команду Выделенная линия тренда.
Пункты 1–2 легко реализуются также следующим приемом: направить ука-
затель мыши к графику линии тренда, щелкнуть правой клавишей мыши, и в появившемся контекстном меню выбрать команду Формат линии тренда.
Еще легче реализуются пункты 1–2: двойным щелчком левой клавишей мыши по графику линии тренда.
3. На экране появится диалоговое окно Формат линии тренда (рис.3), содер-
жащее три вкладки: Вид, Тип, Параметры, причем содержимое вкладок Тип,
Параметры полностью совпадает с аналогичными вкладками диалогового ок-
на Линия тренда (рис.1–2).
4. При необходимости, перейдя на вкладку Вид (рис.3), можно для линии тренда задать тип линии, ее цвет и толщину.
5. Нажать клавишу OK .
Для удаления уже построенной линии тренда следует выбрать удаляемую линию тренда и нажать клавишуDelete .
Достоинствами этого инструмента регрессионного анализа являются:
∙ относительная легкость построения на диаграммах линии тренда без созда-
ния для нее таблицы данных;
∙ достаточно широкий перечень типов предложенных линий трендов, причем в этот перечень входят наиболее часто используемые регрессии;
∙ возможность прогнозирования поведения исследуемого процесса на произ-
вольное (в пределах здравого смысла) количество шагов вперед, а также назад;
∙ возможность получения уравнения линии тренда в аналитическом виде;
∙ возможность, при необходимости, получения оценки достоверности прове-
денной аппроксимации.
К недостаткам можно отнести следующие моменты:
∙ построение линии тренда осуществляется лишь при наличии построенной на ряде данных диаграммы;
∙ несколько загроможден процесс формирования рядов данных для исследуе-
мой характеристики на основании полученных для нее уравнений линий трен-
да, так как коэффициенты этих уравнений при каждом изменении значений ря-
да данных пересчитываются, но лишь в пределах области диаграммы;
∙ в отчетах сводных диаграмм при изменении представления диаграммы или связанного отчета сводной таблицы имеющиеся линии тренда не сохраняются,
то есть до проведения линий тренда или другого форматирования отчета свод-
ных диаграмм следует убедиться, что макет отчета удовлетворяет необходи-
мым требованиям.
Рис.3. Вкладка Вид диалогового окна Формат линии тренда
Линиями тренда можно дополнить ряды данных, представленные на гра-
фиках, гистограммах, плоских ненормированных диаграммах с областями, ли-
нейчатых, точечных, пузырьковых и биржевых диаграммах.
Нельзя дополнить линиями тренда ряды данных на объемных, нормиро-
ванных, лепестковых, круговых и кольцевых диаграммах. При замене типа диа-
граммы на один из вышеперечисленных, а также при изменении представления отчета сводной диаграммы или связанного отчета сводной таблицы соответст-
вующие данным линии тренда будут утеряны.
Использование встроенных функций Excel
В Excel имеется также инструмент регрессионного анализа для построения линий тренда вне области диаграммы. Для этой цели можно использовать ряд статистических функций рабочего листа, однако все они позволяют строить лишь линейные или экспоненциальные регрессии.
В Excel имеется несколько вариантов построения линейной регрессии (ли-
нейного тренда), в частности:
∙ с помощью функции ТЕНДЕНЦИЯ;
∙ с помощью функции ЛИНЕЙН;
∙ с помощью функций НАКЛОН и ОТРЕЗОК .
В Excel имеется также несколько вариантов построения экспоненциальной линии тренда, в частности:
∙ с помощью функции РОСТ;
∙ с помощью функции ЛГРФПРИБЛ.
Следует отметить, что приемы построения регрессий с помощью функций
ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ практически совпадают. То же самое можно сказать и о паре функций ЛИНЕЙН и ЛГРФПРИБЛ. Для всех этих четырех функций при создании таблицы значений используются такие возможности Excel , как формулы массивов, что несколько загромождает процесс построения регрес-
сий. Заметим также, что построение (создание) линейной регрессии, на наш взгляд, легче всего осуществить с помощью функций НАКЛОН и ОТРЕЗОК,
где первая из них определяет угловой коэффициент линейной регрессии, а вто-
рая – отрезок, отсекаемый регрессией на оси ординат.
Достоинствами данного инструмента регрессионного анализа являются:
∙ достаточно простой однотипный процесс формирования рядов данных ис-
следуемой характеристики для всех встроенных статистических функций, за-
дающих линии тренда;
∙ стандартная методика построения линий тренда на основе сформированных рядов данных;
∙ возможность прогнозирования поведения исследуемого процесса на необ-
ходимое количество шагов вперед или назад.
К недостаткам данного инструмента можно отнести то, что вExcel нет встроенных функций для создания других (кроме линейного и экспоненциаль-
ного) типов линий тренда. Это обстоятельство часто не позволяет подобрать с помощью выше перечисленных встроенных функций достаточно точную мо-
дель исследуемого процесса, а также получать близкие к реальности прогнозы.
Кроме того, при использовании функций ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ не известны уравнения линий тренда.
тьи – на конкретных примерах показать возможности пакета Excel при реше-
нии задач аппроксимации; продемонстрировать, каким эффективными инстру-
ментами для построения регрессий и прогнозирования обладает Excel ; проил-
люстрировать, как относительно легко такие задачи могут быть решены даже пользователем, не владеющим глубокими знаниями регрессионного анализа.
Предложенная в статье методика по овладению навыков решения средства-
ми Excel такого рода задач (см. также , где приведены методики решения вExcel систем линейных алгебраических уравнений, нелинейных уравнений,
задач оптимизации, транспортных задач) может быть полезна и интересна пользователям. Это связано с тем, что пакет Excel установлен практически на каждом современном компьютере, в то время как такие известные специализи-
рованные математические пакеты, как Mathematica ,Maple ,Matlab ,Mathcad ,
обладающие более мощными возможностями для построения регрессий и про-
гнозирования, используются значительно меньшей пользовательской аудито-
Ниже приводятся решения конкретных задач с помощью перечисленных инструментов пакета Excel .
Задача 1 . Для таблицы данных о прибыли автотранспортного предприятия за 1995–2002 г.г. необходимо выполнить следующие действия.
По территориям региона приводятся данные за 200Х г.
| Номер региона | Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., х | Среднедневная заработная плата, руб., у |
|---|---|---|
| 1 | 78 | 133 |
| 2 | 82 | 148 |
| 3 | 87 | 134 |
| 4 | 79 | 154 |
| 5 | 89 | 162 |
| 6 | 106 | 195 |
| 7 | 67 | 139 |
| 8 | 88 | 158 |
| 9 | 73 | 152 |
| 10 | 87 | 162 |
| 11 | 76 | 159 |
| 12 | 115 | 173 |
Задание:
1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.
2. Рассчитайте параметры уравнения линейной регрессии
4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости .
Решение:
Решим данную задачу с помощью Excel.
1. Сопоставив имеющиеся данные х и у, например, ранжировав их в порядке возрастания фактора х, можно наблюдать наличие прямой зависимости между признаками, когда увеличение среднедушевого прожиточного минимума увеличивает среднедневную заработную плату. Исходя из этого, можно сделать предположение, что связь между признаками прямая и её можно описать уравнением прямой. Этот же вывод подтверждается и на основе графического анализа.
Чтобы построить поле корреляции можно воспользоваться ППП Excel. Введите исходные данные в последовательности: сначала х, затем у.
Выделите область ячеек, содержащую данные.
Затем выберете: Вставка / Точечная диаграмма / Точечная с маркерами как показано на рисунке 1.
Рисунок 1 Построение поля корреляции
Анализ поля корреляции показывает наличие близкой к прямолинейной зависимости, так как точки расположены практически по прямой линии.
2. Для расчёта параметров уравнения линейной регрессии
воспользуемся встроенной статистической функцией ЛИНЕЙН
.
Для этого:
1) Откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;
2) Выделите область пустых ячеек 5×2 (5 строк, 2 столбца) для вывода результатов регрессионной статистики.
3) Активизируйте Мастер функций
: в главном меню выберете Формулы / Вставить функцию
.
4) В окне Категория
выберете Статистические
, в окне функция - ЛИНЕЙН
. Щёлкните по кнопке ОК
как показано на Рисунке 2;
Рисунок 2 Диалоговое окно «Мастер функций»
5) Заполните аргументы функции:
Известные значения у
Известные значения х
Константа - логическое значение, которое указывает на наличие или на отсутствие свободного члена в уравнении; если Константа = 1, то свободный член рассчитывается обычным образом, если Константа = 0, то свободный член равен 0;
Статистика - логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если Статистика = 1, то дополнительная информация выводится, если Статистика = 0, то выводятся только оценки параметров уравнения.
Щёлкните по кнопке ОК ;
Рисунок 3 Диалоговое окно аргументов функции ЛИНЕЙН
6) В левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите на клавишу
Дополнительная регрессионная статистика будет выводиться в порядке, указанном в следующей схеме:
| Значение коэффициента b | Значение коэффициента a |
| Стандартная ошибка b | Стандартная ошибка a |
| Стандартная ошибка y | |
| F-статистика | |
| Регрессионная сумма квадратов
|
Рисунок 4 Результат вычисления функции ЛИНЕЙН
Получили уровнение регрессии:
Делаем вывод: С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,92 руб.
Означает, что 52% вариации заработной платы (у) объясняется вариацией фактора х - среднедушевого прожиточного минимума, а 48% - действием других факторов, не включённых в модель.
По вычисленному коэффициенту детерминации можно рассчитать коэффициент корреляции: 
.
Связь оценивается как тесная.
4. С помощью среднего (общего) коэффициента эластичности определим силу влияния фактора на результат.
Для уравнения прямой средний (общий) коэффициент эластичности определим по формуле:
Средние значения найдём, выделив область ячеек со значениями х, и выберем Формулы / Автосумма / Среднее , и то же самое произведём со значениями у.
Рисунок 5 Расчёт средних значений функции и аргумент
Таким образом, при изменении среднедушевого прожиточного минимума на 1% от своего среднего значения среднедневная заработная плата изменится в среднем на 0,51%.
С помощью инструмента анализа данных Регрессия
можно получить:
- результаты регрессионной статистики,
- результаты дисперсионного анализа,
- результаты доверительных интервалов,
- остатки и графики подбора линии регрессии,
- остатки и нормальную вероятность.
Порядок действий следующий:
1) проверьте доступ к Пакету анализа . В главном меню последовательно выберите: Файл/Параметры/Надстройки .
2) В раскрывающемся списке Управление выберите пункт Надстройки Excel и нажмите кнопку Перейти.
3) В окне Надстройки установите флажок Пакет анализа , а затем нажмите кнопку ОК .
Если Пакет анализа отсутствует в списке поля Доступные надстройки , нажмите кнопку Обзор , чтобы выполнить поиск.
Если выводится сообщение о том, что пакет анализа не установлен на компьютере, нажмите кнопку Да , чтобы установить его.
4) В главном меню последовательно выберите: Данные / Анализ данных / Инструменты анализа / Регрессия , а затем нажмите кнопку ОК .
5) Заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода:
Входной интервал Y - диапазон, содержащий данные результативного признака;
Входной интервал X - диапазон, содержащий данные факторного признака;
Метки - флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;
Константа - ноль - флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении;
Выходной интервал - достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;
6) Новый рабочий лист - можно задать произвольное имя нового листа.
Затем нажмите кнопку ОК .
Рисунок 6 Диалоговое окно ввода параметров инструмента Регрессия
Результаты регрессионного анализа для данных задачи представлены на рисунке 7.
Рисунок 7 Результат применения инструмента регрессия
5. Оценим с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений. Воспользуемся результатами регрессионного анализа представленного на Рисунке 8.
Рисунок 8 Результат применения инструмента регрессия «Вывод остатка»
Составим новую таблицу как показано на рисунке 9. В графе С рассчитаем относительную ошибку аппроксимации по формуле:
Рисунок 9 Расчёт средней ошибки аппроксимации
Средняя ошибка аппроксимации рассчитывается по формуле:
Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8 - 10%.
6. Из таблицы с регрессионной статистикой (Рисунок 4) выпишем фактическое значение F-критерия Фишера: 
Поскольку 
при 5%-ном уровне значимости, то можно сделать вывод о значимости уравнения регрессии (связь доказана).
8. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведём с помощью t-статистики Стьюдента и путём расчёта доверительного интервала каждого из показателей.
Выдвигаем гипотезу Н 0 о статистически незначимом отличии показателей от нуля:
.
для числа степеней свободы
На рисунке 7 имеются фактические значения t-статистики:
t-критерий для коэффициента корреляции можно рассчитать двумя способами:
I способ:
где 
- случайная ошибка коэффициента корреляции.
Данные для расчёта возьмём из таблицы на Рисунке 7.
II способ:
Фактические значения t-статистики превосходят табличные значения:
Поэтому гипотеза Н 0 отклоняется, то есть параметры регрессии и коэффициент корреляции не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.
Доверительный интервал для параметра a определяется как
Для параметра a 95%-ные границы как показано на рисунке 7 составили:
Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как
Для коэффициента регрессии b 95%-ные границы как показано на рисунке 7 составили:
Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью 
параметры a и b, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.
7. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит:
Тогда прогнозное значение прожиточного минимума составит:
Ошибку прогноза рассчитаем по формуле:
где 
Дисперсию посчитаем также с помощью ППП Excel. Для этого:
1) Активизируйте Мастер функций : в главном меню выберете Формулы / Вставить функцию .
3) Заполните диапазон, содержащий числовые данные факторного признака. Нажмите ОК .
Рисунок 10 Расчёт дисперсии
Получили значение дисперсии 
Для подсчёта остаточной дисперсии на одну степень свободы воспользуемся результатами дисперсионного анализа как показано на Рисунке 7.
Доверительные интервалы прогноза индивидуальных значений у при с вероятностью 0,95 определяются выражением:
Интервал достаточно широк, прежде всего, за счёт малого объёма наблюдений. В целом выполненный прогноз среднемесячной заработной платы оказался надёжным.
Условие задачи взято из: Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 192 с.: ил.
Полиномиальная аппроксимация непрерывной на отрезке функции.
Аппроксимация (от латинского "approximate" -"приближаться")- приближенное выражение каких-либо математических объектов (например, чисел или функций) через другие более простые, более удобные в пользовании или просто более известные. В научных исследованиях аппроксимация применяется для описания, анализа, обобщения и дальнейшего использования эмпирических результатов.
Как известно, между величинами может существовать точная (функциональная) связь, когда одному значению аргумента соответствует одно определенное значение, и менее точная (корреляционная) связь, когда одному конкретному значению аргумента соответствует приближенное значение или некоторое множество значений функции, в той или иной степени близких друг к другу. При ведении научных исследований, обработке результатов наблюдения или эксперимента обычно приходиться сталкиваться со вторым вариантом. При изучении количественных зависимостей различных показателей, значения которых определяются эмпирически, как правило, имеется некоторая их вариабельность. Частично она задается неоднородностью самих изучаемых объектов неживой и, особенно, живой природы, частично обуславливается погрешностью наблюдения и количественной обработке материалов. Последнюю составляющую не всегда удается исключить полностью, можно лишь минимизировать ее тщательным выбором адекватного метода исследования и аккуратностью работы. Поэтому при выполнении любой научно-исследовательской работы возникает проблема выявления подлинного характера зависимости изучаемых показателей, этой или иной степени замаскированных неучтенностью вариабельности значений. Для этого и применяется аппроксимация - приближенное описание корреляционной зависимости переменных подходящим уравнением функциональной зависимости, передающим основную тенденцию зависимости (или ее "тренд").
При выборе аппроксимации следует исходить из конкретной задачи исследования. Обычно, чем более простое уравнение используется для аппроксимации, тем более приблизительно получаемое описание зависимости.
Поэтому важно считывать, насколько существенны и чем обусловлены отклонения конкретных значений от получаемого тренда. При описании зависимости эмпирически определенных значений можно добиться и гораздо большей точности, используя какое-либо более сложное, много параметрическое уравнение. Однако нет никакого смысла стремиться с максимальной точностью передать случайные отклонения величин в конкретных рядах эмпирических данных. Гораздо важнее уловить общую закономерность, которая в данном случае наиболее логично и с приемлемой точностью выражается именно двухпараметрическим уравнением степенной функции. Таким образом, выбирая метод аппроксимации, исследователь всегда идет на компромисс: решает, в какой степени в данном случае целесообразно и уместно "пожертвовать" деталями и, соответственно, насколько обобщенно следует выразить зависимость сопоставляемых переменных. Наряду с выявлением закономерностей, замаскированных случайными отклонениями эмпирических данных от общей закономерности, аппроксимация позволяет также решать много других важных задач: формализовать найденную зависимость; найти неизвестные значения зависимой переменной путем интерполяции или, если это допустимо, экстраполяции.
Здесь будет рассмотрена полиномиальная аппроксимация. Это означает, что наша задача состоит в том, что, опираясь на начальные данные (функция и отрезок), необходимо найти такой полином, отклонение линии которого от графика начальной функции будет минимальным.
Наиболее популярным методом полиномиальной аппроксимации является метод наименьших квадратов. В Excel он реализуется при помощи диаграммы и линии тренда.
Разберем данный метод в Excel.
Начальные данные:
Сначала нам необходимо разбить данный отрезок при помощи "Чебышевского" разбиения, т.к. данный вид разбиения всегда дает более точный результат.
В колонке I(рис. 1) записываем числа от 0 до 8, т.к. отрезок разбиваем на 8 частей.
В колонке z ячейки вычисляем по формуле: COS(3,141593*I/8). Для вычисления каждой ячейки используем соответствующее ей I.
Значение каждого x находим по формуле: 2*z + 1.
В колонке F(x) вычисляем значение данной функции для каждого x.
Рисунок 1
Далее в ячейках H2,I2,J2 задаем начальные значения коэффициентов a, b и c в искомом полиноме (рис. 2).
Рисунок 2
В столбце F со 2 по 10 ячейки вычисляем значения отклонений, т.е. модуль разности между значением начальной функции и найденным полиномом.
Формула: ABS((1+x^2)^0,5+2^(-x)-($H$2*x^2+$I$2*x+$J$2)).
В ячейке B11 вычисляется сумма отклонений, а в ячейке B12 среднее отклонение (рис. 3).
Рисунок 3
С помощью "Мастера диаграмм" строим точечную диаграмму, исходя из данных столбцов x и F(x). Теперь во вкладке "Диаграмма" выбираем "Добавить линию тренда" и устанавливаем необходимый флажок для того, чтобы показать уравнение на диаграмме (рис. 4).
Рисунок 4
Теперь подставляем коэффициенты из полученного уравнения в ячейки H2, I2 и J2 (рис. 5).
Рисунок 5
Как видно, среднее отклонение равно 0,117006252.
Найденный полином: 0,363*x² - 0,6901*x + 2,2203.
Предложим иной метод полиномиальной аппроксимации.
Открываем вкладку "Сервис" и выбираем "Поиск решений". В появившемся окне целевой ячейкой указываем F11, причем равной минимальному значению. В поле "изменяя ячейки" указываем H2, I2 и J2.
Нажимаем кнопку "Выполнить". После выполнения процедуры мы видим, что результаты изменились (рис. 6).
Рисунок 6
На этот раз среднее отклонение равно 0,106084329.
Найденный полином: 0,35724*x² - 0,702*x + 2,259158.
Этот результат существенно точнее предыдущего, что подтверждает преимущество использования минимизации суммы отклонений по сравнению с методом наименьших квадратов.